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Textaufgaben: Die perfekte Cola-Dose

Fünf Verpackungsaufgaben vom offenen Behälter bis zum allgemeinen Beweis — Zielfunktion aufstellen, mit \(\tfrac{1}{r}\) ableiten und das Ergebnis \(h=2r\) allgemein nachweisen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben führt die Nebenbedingung auf eine Zielfunktion mit einem Bruchterm \(\tfrac{c}{r}\). Wer ihn als \(c\cdot r^{-1}\) schreibt, kann wie gewohnt mit der Potenzregel ableiten. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Die 500-ml-Dose

AFB I

Eine zylindrische Dose mit Deckel soll \(500\,\text{cm}^{3}\) fassen. Gesucht sind Radius und Höhe, bei denen der Blechverbrauch am kleinsten ist (Material M1). Es gilt \(V=\pi r^{2}h\) und \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\).

M1Zylinder und Zerlegung der Oberfläche
rhMantelBreite 2πr, Höhe hBoden + DeckelO = 2πr² + 2πrh

Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisen und einem Rechteck der Breite \(2\pi r\).

  1. Gib Zielgröße und Nebenbedingung an.
  2. Stelle die Zielfunktion \(O(r)\) auf.
  3. Bestimme Radius und Höhe der materialsparendsten Dose auf zwei Nachkommastellen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Zielgröße steht hinter „am kleinsten“, die Nebenbedingung ist die Angabe mit der festen Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zielgröße: der Oberflächeninhalt \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\). Nebenbedingung: \(\pi r^{2}h=500\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Löse \(V=\pi r^{2}h\) nach \(h\) auf und setze in \(O\) ein; kürze so weit wie möglich.Aus \(2\pi r\cdot\tfrac{500}{\pi r^{2}}\) wird \(\tfrac{1000}{r}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h=\tfrac{500}{\pi r^{2}}\) einsetzen: \(O(r)=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\tfrac{500}{\pi r^{2}}=2\pi r^{2}+\tfrac{1000}{r}\) mit \(D=\,]0;\infty[\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Schreibe \(\tfrac{1000}{r}=1000\,r^{-1}\), bevor du ableitest, und weise das Minimum mit \(O″\) nach.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(O′(r)=4\pi r-\tfrac{1000}{r^{2}}=0 \Leftrightarrow 4\pi r^{3}=1000 \Leftrightarrow r^{3}=\tfrac{250}{\pi}\approx 79{,}577\), also \(r\approx 4{,}30\). Wegen \(O″(r)=4\pi+\tfrac{2000}{r^{3}}>0\) liegt ein Minimum vor. Dann ist \(h=\tfrac{500}{\pi\cdot 4{,}30^{2}}\approx 8{,}60\). Antwortsatz: Die materialsparendste Dose hat einen Radius von rund \(4{,}30\,\text{cm}\) und eine Höhe von rund \(8{,}60\,\text{cm}\) — die Höhe ist also genau so groß wie der Durchmesser.

2

Die Dose ohne Deckel

AFB II

Ein Behälter mit \(1000\,\text{cm}^{3}\) Inhalt soll als oben offener Zylinder gefertigt werden; er besteht also nur aus Boden und Mantel. Gesucht sind wieder die materialsparendsten Maße.

  1. Stelle die Zielfunktion \(O(r)\) für den offenen Behälter auf.
  2. Bestimme Radius und Höhe auf zwei Nachkommastellen.
  3. Vergleiche das Ergebnis mit dem Verhältnis aus Aufgabe 1 und erkläre den Unterschied.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ohne Deckel entfällt genau eine Kreisfläche: \(O=\pi r^{2}+2\pi r h\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nebenbedingung: \(\pi r^{2}h=1000\), also \(h=\tfrac{1000}{\pi r^{2}}\). Einsetzen: \(O(r)=\pi r^{2}+2\pi r\cdot\tfrac{1000}{\pi r^{2}}=\pi r^{2}+\tfrac{2000}{r}\) mit \(D=\,]0;\infty[\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Rechenweg ist derselbe wie in Aufgabe 1 — nur der Vorfaktor des quadratischen Terms ändert sich.Deshalb verschiebt sich auch das Optimum.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(O′(r)=2\pi r-\tfrac{2000}{r^{2}}=0 \Leftrightarrow r^{3}=\tfrac{1000}{\pi}\approx 318{,}31\), also \(r\approx 6{,}83\). Wegen \(O″(r)=2\pi+\tfrac{4000}{r^{3}}>0\) liegt ein Minimum vor. Dann ist \(h=\tfrac{1000}{\pi\cdot 6{,}83^{2}}\approx 6{,}83\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne das Verhältnis \(h:r\) in beiden Fällen und überlege, welcher Flächenanteil weggefallen ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Beim geschlossenen Zylinder gilt \(h=2r\), beim offenen \(h=r\). Der Grund: Ohne Deckel ist eine Vergrößerung des Radius nur noch halb so teuer wie vorher, während sie den Mantel weiterhin entlastet. Das Optimum verschiebt sich deshalb zu einem größeren Radius und einer geringeren Höhe. Antwortsatz: Der offene Behälter ist mit \(r\approx h\approx 6{,}83\,\text{cm}\) deutlich flacher und breiter als die geschlossene Dose.

3

Ein verstärkter Boden

AFB II

Eine \(330\,\text{ml}\)-Dose soll am Boden aus doppelt so dickem Blech gefertigt werden wie an Deckel und Mantel. Für den Materialbedarf \(M\) (gemessen in Quadratzentimetern einfachen Blechs) gilt daher

\[M=2\cdot\pi r^{2}\;+\;\pi r^{2}\;+\;2\pi r h\]

Gesucht sind die Maße mit dem kleinsten Materialbedarf.

  1. Stelle die Zielfunktion \(M(r)\) auf.
  2. Bestimme Radius und Höhe auf zwei Nachkommastellen und weise das Minimum nach.
  3. Deute das Ergebnis im Vergleich zur gewöhnlichen 330-ml-Dose.
Hinweis zu Aufgabe a)
Fasse zuerst die beiden Kreisterme zusammen: \(2\pi r^{2}+\pi r^{2}=3\pi r^{2}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(M(r)=3\pi r^{2}+2\pi r\cdot\tfrac{330}{\pi r^{2}}=3\pi r^{2}+\tfrac{660}{r}\) mit \(D=\,]0;\infty[\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Mit \(h=\tfrac{330}{\pi r^{2}}\) wird aus dem Mantelterm \(\tfrac{660}{r}\).Der Mantelterm hängt nicht davon ab, wie dick der Boden ist — nur der Kreisterm ändert sich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(M′(r)=6\pi r-\tfrac{660}{r^{2}}=0 \Leftrightarrow r^{3}=\tfrac{110}{\pi}\approx 35{,}014\), also \(r\approx 3{,}27\). Wegen \(M″(r)=6\pi+\tfrac{1320}{r^{3}}>0\) liegt ein Minimum vor. Dann ist \(h=\tfrac{330}{\pi\cdot 3{,}27^{2}}\approx 9{,}82\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche mit dem Ergebnis der gewöhnlichen Dose \((r\approx 3{,}74\,\text{cm})\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die gewöhnliche 330-ml-Dose wäre mit \(r\approx 3{,}74\,\text{cm}\) und \(h\approx 7{,}49\,\text{cm}\) optimal. Weil der Boden nun doppelt zählt, sind große Kreisflächen teurer geworden; das Optimum verschiebt sich zu einem kleineren Radius und einer größeren Höhe. Antwortsatz: Die verstärkte Dose ist mit rund \(3{,}27\,\text{cm}\) Radius und \(9{,}82\,\text{cm}\) Höhe schlanker und höher — sie ähnelt damit übrigens der real verkauften Getränkedose.

4

Warum ist die echte Dose nicht optimal?

AFB III

Eine handelsübliche \(330\,\text{ml}\)-Getränkedose hat einen Durchmesser von etwa \(6{,}6\,\text{cm}\). Material M2 zeigt den Oberflächeninhalt \(O(r)=2\pi r^{2}+\tfrac{660}{r}\) in Abhängigkeit vom Radius.

M2Blechbedarf einer 330-ml-Dose
r in cmO in cm²2345678250300350400450500Minimum bei r ≈ 3,74

In der Nähe des Minimums verläuft der Graph sehr flach — kleine Abweichungen kosten wenig Material.

  1. Berechne den Blechbedarf der realen Dose und den der optimalen Dose.
  2. Berechne, um wie viel Prozent die reale Dose mehr Blech verbraucht.
  3. Nimm dazu Stellung, warum Dosen trotzdem nicht in der optimalen Form gebaut werden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Bestimme zuerst \(r=3{,}3\) und daraus \(h=\tfrac{330}{\pi r^{2}}\); setze beides in \(O=2\pi r^{2}+2\pi rh\) ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Reale Dose: \(r=3{,}3\) und \(h=\tfrac{330}{\pi\cdot 10{,}89}\approx 9{,}65\); \(O_{\text{real}}=2\pi\cdot 10{,}89+2\pi\cdot 3{,}3\cdot 9{,}65\approx 68{,}4+200{,}0=268{,}4\,\text{cm}^{2}\).

Optimale Dose: \(r^{3}=\tfrac{330}{2\pi}\approx 52{,}52\), also \(r\approx 3{,}74\) und \(h=2r\approx 7{,}49\); \(O_{\text{opt}}\approx 88{,}1+176{,}2=264{,}4\,\text{cm}^{2}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der prozentuale Mehrverbrauch ist \(\tfrac{O_{\text{real}}-O_{\text{opt}}}{O_{\text{opt}}}\).Der Graph in M2 lässt das Ergebnis bereits erahnen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\tfrac{268{,}4-264{,}4}{264{,}4}\approx 0{,}015\), also rund \(1{,}5\,\%\) Mehrverbrauch.

Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an Stapelbarkeit, Greifbarkeit, Bedruckung und an die Kosten der Fertigung, nicht nur an das Blech.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Mehrverbrauch ist gering, weil der Graph von \(O\) in der Umgebung des Minimums sehr flach verläuft: Eine Abweichung von rund \(12\,\%\) beim Radius kostet nur \(1{,}5\,\%\) Blech. Diesem kleinen Nachteil stehen praktische Vorteile gegenüber — die schlanke Dose lässt sich besser greifen, stapeln und bedrucken, sie passt in genormte Getränkehalter, und der Falzrand am Boden verbraucht bei großem Radius zusätzliches Material. Antwortsatz: Das mathematische Modell erfasst nur den Blechbedarf; die reale Formgebung folgt weiteren Kriterien, die im Modell gar nicht vorkommen.

5

Der allgemeine Nachweis

AFB III

Eine Firma stellt zylindrische Dosen mit Deckel in vielen Größen her. Eine Auszubildende vermutet: „Bei jeder Dose mit minimalem Blechverbrauch ist die Höhe genau so groß wie der Durchmesser.“

  1. Stelle die Zielfunktion \(O(r)\) für ein beliebiges, festes Volumen \(V\) auf.
  2. Leite den optimalen Radius in Abhängigkeit von \(V\) her und weise das Minimum nach.
  3. Weise die Vermutung der Auszubildenden allgemein nach.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gehe genauso vor wie in Aufgabe 1, nur mit \(V\) statt einer Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Aus \(V=\pi r^{2}h\) folgt \(h=\tfrac{V}{\pi r^{2}}\) und damit \(O(r)=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\tfrac{V}{\pi r^{2}}=2\pi r^{2}+\tfrac{2V}{r}\) mit \(D=\,]0;\infty[\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Aus \(4\pi r^{3}=2V\) folgt \(r^{3}=\tfrac{V}{2\pi}\).Der Nachweis des Minimums gelingt hier ohne Zahlenwert: \(O″(r)\) ist für alle \(r>0\) positiv.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(O′(r)=4\pi r-\tfrac{2V}{r^{2}}=0 \Leftrightarrow 4\pi r^{3}=2V \Leftrightarrow r^{3}=\tfrac{V}{2\pi}\), also \(r=\sqrt[3]{\tfrac{V}{2\pi}}\). Wegen \(O″(r)=4\pi+\tfrac{4V}{r^{3}}>0\) für alle \(r>0\) liegt dort ein Minimum — und zwar das einzige.

Hinweis zu Aufgabe c)
Setze \(V=2\pi r^{3}\) in die Formel für \(h\) ein und kürze.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aus \(r^{3}=\tfrac{V}{2\pi}\) folgt \(V=2\pi r^{3}\). Einsetzen in \(h=\tfrac{V}{\pi r^{2}}\) liefert \(h=\tfrac{2\pi r^{3}}{\pi r^{2}}=2r\). Antwortsatz: Bei jeder blechsparendsten Dose gilt \(h=2r\); die Höhe stimmt also mit dem Durchmesser überein — unabhängig davon, wie viel die Dose fasst. Die Vermutung der Auszubildenden ist damit allgemein bewiesen.