Ableitungsregeln anwenden: Übungen – Mathe Klasse 11

A1Die vier Regeln in WortenAFB I

Vervollständige den Text über die Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen.

Ziehe die Bausteine an die richtige Stelle.

Nach der wird der als Faktor nach vorn gezogen und anschließend um verringert. Ein Vorfaktor bleibt beim Ableiten unverändert stehen — das ist die . Eine Summe mehrerer Glieder wird abgeleitet. Ein reiner Zahlenterm hat die Ableitung , denn sein Graph ist eine Gerade.

Vier Regeln, vier Namen: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Konstantenregel.

A2Stimmt das?AFB I

Sechs Aussagen über das Ableiten ganzrationaler Funktionen — entscheide jeweils.

Richtig oder falsch?

Aussage 1 von 6

Zwei Stolperstellen sind dabei: der absolute Term und die Bedeutung von f′.

A3Funktion und Ableitung zuordnenAFB I

Vier Funktionen, vier Ableitungen. Ordne sie einander zu.

Finde die Paare: Zu jeder Funktion gehört genau eine Ableitung. Zwei Karten anklicken — passen sie, bleiben sie offen.

Achte auf die Vorfaktoren — und darauf, welche Summanden ganz verschwinden.

A4Der Weg zur AbleitungAFB II

Fünf Arbeitsschritte führen von \(f(x)=2x^3-5x+8\) zur Ableitung. Ordne sie.

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Funktionsterm notieren: f(x) = 2x³ − 5x + 8.

2Ersten Summanden ableiten: aus 2x³ wird 2 · 3x² = 6x².

3Zweiten Summanden ableiten: aus −5x wird −5.

4Absoluten Term ableiten: aus +8 wird 0.

5Ergebnisse zusammensetzen: f′(x) = 6x² − 5.

Erst jedes Glied einzeln, ganz am Ende alles zusammensetzen.

A5Die Ableitung zusammensetzenAFB II

Setze den Term von \(f'\) aus den passenden drei Bausteinen zusammen.

Gegeben ist f(x) = ½x⁴ − 3x² + x. Baue aus den Bausteinen den Term von f′(x). Drei Bausteine bleiben übrig.

Aus ½x⁴ wird ½ · 4x³ = 2x³. Aus −3x² wird −6x. Aus +x wird +1 — und nicht +0.

A6Tangentensteigung an einer StelleAFB II

Die Zahl \(f'(2)\) ist die Steigung der Tangente im Punkt \((2\mid f(2))\). Bestimme sie.

Gegeben ist f(x) = x³ − 4x + 1. Berechne f′(2).

Erst f′(x) bilden, dann x = 2 einsetzen — nicht umgekehrt.

A7Welche Regel greift hier?AFB II

Jede Zeile zeigt einen einzelnen Summanden. Kreuze an, welche Regel er verlangt.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz: Welche Regel — oder welche Kombination von Regeln — brauchst du für diesen einen Summanden?

Summand	nur Konstantenregel	nur Potenzregel	Potenz- und Faktorregel
f(x) = 12
f(x) = x³
f(x) = −7x⁴
f(x) = x
f(x) = −3
f(x) = 0,5x²

Ein Vorfaktor ungleich 1 verlangt zusätzlich die Faktorregel. Bei f(x) = x steht der Faktor 1 unsichtbar davor — die Potenzregel genügt.

A8Fehlersuche in einer RechnungAFB III

Rechnung mit \(f(x)=2x^4-x^3+6x-9\). Finde alle fehlerhaften Zeilen.

Jonas leitet Schritt für Schritt ab. Klicke die Zeilen an, in denen ein Fehler steckt.

Drei Zeilen sind fehlerfrei, drei enthalten einen Fehler — zwei davon hängen unmittelbar zusammen.

A9Was folgt aus f′ und f″?AFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^3-3x\). Welche Aussagen treffen zu?

Mehrere Antworten sind richtig.

Bilde zuerst f′(x) = 3x² − 3 und daraus f″(x). Setze anschließend die genannten Stellen ein.

A10Vom Term zur TangentensteigungAFB III

Gegeben ist \(f(x)=2x^3-9x^2+12x\). Arbeite dich Schritt für Schritt zu den beiden Tangentensteigungen vor.

Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

Welchen Vorfaktor hat x² in f′(x)?
Welchen Vorfaktor hat x in f′(x)? (mit Vorzeichen)
Wie groß ist f′(0)?
Wie groß ist f′(2)?

f′(x) = 6x² − 18x + 12. Der letzte Wert bedeutet: bei x = 2 verläuft die Tangente waagerecht.

A11Welchen Grad hat die Ableitung?AFB I

Beim Ableiten sinkt jeder Exponent um 1 — damit sinkt auch der Grad der ganzen Funktion um 1. Bestimme für jede Funktion den Grad von \(f'\).

Wähle in jeder Zeile die Stufe, die dem Grad von f′ entspricht. Pfeiltasten wandern, Enter wählt.

Grad 1Grad 5

f(x) = x² − 5x + 2

f(x) = 2x³ − x

f(x) = x⁴ + 3x² − 8

f(x) = −0,5x⁵ + x³ − x

f(x) = x⁶ − 2x⁵ + 4x

Der Grad von \(f'\) ist immer um genau 1 kleiner als der Grad von \(f\) — solange der Grad von \(f\) mindestens 1 ist. Bei \(f(x)=x^6-2x^5+4x\) führt \(x^6\) auf \(6x^5\), also Grad 5.

A12Was wird aus dem einzelnen Summanden?AFB I

Jede Karte zeigt einen einzelnen Summanden. Entscheide, wie seine Ableitung aussieht — nicht, wie sie genau lautet.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Ableitung ist 0

2Ableitung ist eine Zahl ≠ 0

3Ableitung enthält noch x

Ein reiner Zahlenterm hat die Ableitung 0. Aus \(ax\) wird die Zahl \(a\), weil der Exponent 1 auf 0 sinkt und \(x^0=1\) ist. Erst ab dem Exponenten 2 bleibt in der Ableitung ein \(x\) stehen.

A13Die Ableitung als TermAFB II

Leite \(f(x)=\tfrac14x^4-2x^3+5x-7\) ab und gib \(f'(x)\) vollständig vereinfacht ein.

Gib den Term von f′(x) ein. Schreibweise: 3x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.

Gliedweise: \(\tfrac14\cdot 4x^3=x^3\), \(2\cdot 3x^2=6x^2\) mit Minus davor, aus \(5x\) wird \(5\), und die \(-7\) fällt weg. Also \(f'(x)=x^3-6x^2+5\).

A14Fünf TangentensteigungenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-4\). Bilde \(f'\) und berechne die fünf Werte. Zwei davon sind gleich 0 — dort verläuft die Tangente waagerecht.

Trage alle fünf Werte ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.

\(f'(-1)=\)\(f'(0)=\)\(f'(1)=\)\(f'(2)=\)\(f'(3)=\)

\(f'(x)=6x^2-18x+12\). Einsetzen liefert 36, 12, 0, 0 und 12. Dass \(f'(1)=f'(2)=0\) gilt, bedeutet: an den Stellen 1 und 2 hat der Graph waagerechte Tangenten.

A15Erste und zweite AbleitungAFB II

Bilde zu jeder Funktion \(f'\) und \(f''\). Schreibe die Terme so einfach wie möglich.

Trage in jede Zelle einen Term ein. Schreibweise: 6x^2, -4x, 0. Enter prüft.

\(f'(x)\)	\(f''(x)\)
\(f(x)=x^3-4x^2\)
\(f(x)=5x^2-3x+7\)
\(f(x)=\tfrac16x^4+2x\)
\(f(x)=-x^5\)

Zweimal dieselbe Regel anwenden. Bei \(f(x)=5x^2-3x+7\) ist \(f''(x)=10\) eine reine Zahl — die dritte Ableitung wäre 0. Bei \(\tfrac16x^4\) ergibt \(\tfrac16\cdot4=\tfrac23\).

A16Steigung als BruchAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\tfrac23x^3-\tfrac34x^2+x\). Berechne \(f'\!\left(\tfrac12\right)\) und gib den Wert als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Ein Minus gehört in den Zähler, eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1. Enter prüft.

\(f'(x)=2x^2-\tfrac32x+1\). Einsetzen: \(2\cdot\tfrac14-\tfrac32\cdot\tfrac12+1=\tfrac12-\tfrac34+1=\tfrac34\).

A17Vom Rechenwert zur Aussage über den GraphenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^3-12x\). Berechne \(f'\) an den fünf Stellen und übersetze das Ergebnis in eine Aussage über den Graphen.

Rechne zuerst, wähle dann. Beide Zeilen sagen dasselbe — einmal als Vorzeichen, einmal als Verlauf.

Stelle	\(x=-3\)	\(x=-2\)	\(x=0\)	\(x=2\)	\(x=3\)
\(f'(x)\) ist …
Der Graph von \(f\) …

\(f'(x)=3x^2-12\). Werte: \(f'(-3)=15\), \(f'(-2)=0\), \(f'(0)=-12\), \(f'(2)=0\), \(f'(3)=15\). Positives \(f'\) heißt steigend, negatives fallend, \(f'(x_0)=0\) heißt waagerechte Tangente.

A18Sechs Ableitungen — drei stimmen nichtAFB III

In drei der sechs Zeilen steckt ein Fehler. Finde sie und trage jeweils die richtige Ableitung ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen. Schreibweise: 2x^3-5x.

Zeile 3: erst ausmultiplizieren, \((x+3)^2=x^2+6x+9\), also \(f'(x)=2x+6\). Zeile 4: die 7 ist ein absoluter Term und fällt weg. Zeile 6: der Exponent muss sinken, \(4\cdot3x^2=12x^2\). Zeile 5 ist richtig, weil \(x^2(x-4)=x^3-4x^2\) ist.

A19Parameter aus Bedingungen bestimmenAFB III

Von \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) ist bekannt: \(f(0)=4\), \(f'(1)=0\) und \(f'(-1)=-8\). Bestimme \(a\), \(b\) und \(c\) und berechne damit \(f'(2)\).

Trage in jedes Feld eine ganze Zahl ein (Minuszeichen nicht vergessen). Enter prüft.

gesucht	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(f'(2)\)
Wert

\(f'(x)=3x^2+2ax+b\). Aus \(f'(1)=0\) folgt \(3+2a+b=0\), aus \(f'(-1)=-8\) folgt \(3-2a+b=-8\). Subtrahieren: \(4a=8\), also \(a=2\) und daraus \(b=-7\). Der absolute Term steht direkt in \(f(0)=c=4\). Damit ist \(f'(2)=12+8-7=13\).

A20Die kleinstmögliche SteigungAFB III

Der Graph von \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\) wird an manchen Stellen steiler, an manchen flacher. Wie klein kann die Tangentensteigung höchstens werden? Rechne zuerst, stelle dann den Regler ein.

Schiebe den Regler auf den berechneten kleinsten Wert von f′. Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten — der Wert muss exakt stimmen.

-2010

\(f'(x)=3x^2-6x-9\) ist selbst eine nach oben geöffnete Parabel. Ihr Scheitel liegt bei \(x=1\) (denn \(f''(x)=6x-6=0\)), und dort ist \(f'(1)=3-6-9=-12\). Kleiner als \(-12\) wird die Steigung nirgends; nach beiden Seiten wächst sie unbegrenzt.

Übungen: Ableitungsregeln sicher anwenden

Übungsaufgaben