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Textaufgaben: Ableitungsregeln sicher anwenden

Fünf Sachaufgaben vom Bremsweg bis zur Sprungschanze — ableiten, die Ableitung als Rate oder Steigung deuten und eine fehlerhafte Rechnung widerlegen.

T

Textaufgaben

In allen fünf Aufgaben wird zuerst abgeleitet und danach gedeutet. Die Rechnung selbst ist Routine — die Punkte stecken in der Einheit, im Vorzeichen und im Antwortsatz. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

1

Der ICE bremst

AFB I

Ein Zug leitet bei voller Fahrt eine Bremsung ein. Der zurückgelegte Bremsweg \(s\) (in Metern) hängt von der Zeit \(t\) (in Sekunden) ab:

\[s(t)=40t-0{,}5t^{2}\qquad\text{mit}\quad 0\le t\le 40\]

Material M1 zeigt den Verlauf.

M1Weg-Zeit-Diagramm der Bremsung
t in ss in m10203040200400600800350 m nach 10 sStillstand

Der Graph steigt durchgehend, wird dabei aber immer flacher — der Zug wird langsamer.

  1. Bestimme \(s′\) mit Summen-, Faktor- und Potenzregel.
  2. Berechne \(s′(10)\) und gib die Einheit an.
  3. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Zug steht, und die Länge des gesamten Bremswegs.
Hinweis zu Aufgabe a)
Leite jeden Summanden einzeln ab. Der Faktor bleibt beim Ableiten stehen, der Exponent wandert nach vorn und wird um 1 kleiner.\(40t=40t^{1}\) hat die Ableitung \(40\), und \(t^{2}\) hat die Ableitung \(2t\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s′(t)=40-0{,}5\cdot 2t=40-t\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Einheit einer Steigung ist die Einheit der y-Achse geteilt durch die Einheit der x-Achse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(s′(10)=40-10=30\), also \(30\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Nach zehn Sekunden fährt der Zug noch mit \(30\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) (rund \(108\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)).

Hinweis zu Aufgabe c)
Ein Zug steht, wenn seine Geschwindigkeit null ist — also \(s′(t)=0\). Setze den gefundenen Zeitpunkt anschließend in \(s\) ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(40-t=0 \Rightarrow t=40\,\text{s}\). Einsetzen: \(s(40)=40\cdot 40-0{,}5\cdot 40^{2}=1600-800=800\). Antwortsatz: Der Zug kommt nach 40 Sekunden zum Stehen; der Bremsweg beträgt 800 m.

2

Grenzkosten einer Bäckerei

AFB II

Eine Bäckerei produziert \(x\) Brote pro Tag. Die Gesamtkosten \(K\) in Euro werden modelliert durch

\[K(x)=0{,}01x^{3}-1{,}2x^{2}+60x+400\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 100\]

Die Ableitung \(K′\) heißt in der Wirtschaft Grenzkostenfunktion.

  1. Bestimme \(K′\) und erläutere, was die Grenzkosten im Sachzusammenhang bedeuten.
  2. Berechne \(K′(20)\) und deute das Ergebnis.
  3. Bestimme \(K″\) und gib an, in welchem Bereich die Grenzkosten fallen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Ableitung einer Kostenfunktion beschreibt die Kosten des nächsten Stücks.Die Konstante 400 (Fixkosten) fällt beim Ableiten weg — sie ändert sich nicht mit der Stückzahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(K′(x)=0{,}03x^{2}-2{,}4x+60\). Die Grenzkosten geben näherungsweise an, wie viel Euro das nächste zusätzlich gebackene Brot kostet.

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(x=20\) in \(K′\) ein und hänge die Einheit \(\tfrac{\text{€}}{\text{Brot}}\) an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(K′(20)=0{,}03\cdot 400-2{,}4\cdot 20+60=12-48+60=24\), also \(24\,\tfrac{\text{\u20ac}}{\text{Brot}}\). Wird die Tagesproduktion von 20 auf 21 Brote erhöht, steigen die Kosten um rund 24 \u20ac.

Hinweis zu Aufgabe c)
Leite \(K′\) noch einmal ab. Die Grenzkosten fallen dort, wo \(K″\) negativ ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(K″(x)=0{,}06x-2{,}4\). Aus \(0{,}06x-2{,}4<0\) folgt \(x<40\). Antwortsatz: Bis zu einer Tagesproduktion von 40 Broten sinken die Grenzkosten — jedes weitere Brot wird billiger als das vorige. Ab 40 Broten steigen sie wieder.

3

Die Sprungschanze

AFB II

Der Anlauf einer Schanze wird durch

\[h(x)=0{,}0002x^{3}-0{,}018x^{2}+25\qquad\text{mit}\quad 0\le x\le 60\]

beschrieben; \(x\) ist die waagerechte Entfernung vom Start in Metern, \(h\) die Höhe über dem Aufsprungniveau in Metern (Material M2).

M2Anlaufprofil mit Tangente bei \(x=20\)
x in mh in m10203040506051015202530Tangente in P(20 | 19,4)

Die gestrichelte Gerade berührt das Profil in \(P\) und hat dort dieselbe Steigung wie der Hang.

  1. Bestimme \(h′\).
  2. Berechne die Steigung des Hangs an der Stelle \(x=20\) und daraus den Neigungswinkel.
  3. Bestimme die Gleichung der eingezeichneten Tangente.
Hinweis zu Aufgabe a)
Auch hier wird summandenweise abgeleitet; die Konstante 25 fällt weg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h′(x)=0{,}0006x^{2}-0{,}036x\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Steigung \(m\) und der Winkel \(\alpha\) hängen über \(\tan\alpha=m\) zusammen.Eine negative Steigung bedeutet Gefälle; für den Winkel rechnet man mit dem Betrag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h′(20)=0{,}0006\cdot 400-0{,}036\cdot 20=0{,}24-0{,}72=-0{,}48\). Aus \(\tan\alpha=0{,}48\) folgt \(\alpha\approx 25{,}6^\circ\). Antwortsatz: Der Hang fällt an dieser Stelle unter rund \(25{,}6^\circ\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Eine Tangente ist eine Gerade \(y=mx+b\) mit \(m=h′(20)\), die durch den Punkt \(P\bigl(20\mid h(20)\bigr)\) verläuft.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h(20)=0{,}0002\cdot 8000-0{,}018\cdot 400+25=1{,}6-7{,}2+25=19{,}4\), also \(P(20\mid 19{,}4)\). Ansatz \(y=-0{,}48x+b\); einsetzen liefert \(19{,}4=-9{,}6+b\), also \(b=29\). Tangente: \(y=-0{,}48x+29\).

4

Der Abschlag beim Golf

AFB III

Die Flugbahn eines Golfballs wird durch die Funktionenschar

\[f_a(x)=-0{,}05x^{2}+a\,x\qquad\text{mit}\quad a>0\]

modelliert; \(x\) ist die waagerechte Entfernung in Metern, \(f_a(x)\) die Höhe in Metern. Der Parameter \(a\) hängt vom Abschlagwinkel ab.

  1. Bestimme \(f_a′\) in Abhängigkeit von \(a\).
  2. Bestimme \(a\) so, dass der Ball unter einer Anfangssteigung von \(1\) abfliegt.
  3. Weise für dieses \(a\) nach, dass die Wurfweite genau 20 m beträgt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Parameter \(a\) wird beim Ableiten wie eine feste Zahl behandelt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_a′(x)=-0{,}1x+a\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Anfangssteigung ist die Steigung an der Abschlagstelle \(x=0\).\(f_a′(0)\) enthält nur noch \(a\) — daraus lässt sich \(a\) direkt ablesen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f_a′(0)=a\stackrel{!}{=}1\), also \(a=1\) und damit \(f(x)=-0{,}05x^{2}+x\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Wurfweite ist die zweite Nullstelle der Flugbahn. Klammere \(x\) aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(-0{,}05x^{2}+x=x\,(-0{,}05x+1)=0\) liefert \(x_1=0\) (Abschlag) und \(-0{,}05x+1=0\), also \(x_2=20\). Antwortsatz: Der Ball landet 20 m vom Abschlag entfernt; die Wurfweite beträgt genau 20 m.

5

Zwei Faktoren, eine Falle

AFB III

Der Querschnitt einer Regenrinne wird durch \(f(x)=(2x-1)\,(x^{2}+3)\) beschrieben. Ein Schüler leitet ab, indem er beide Faktoren einzeln ableitet, und schreibt:

\[f′(x)=2\cdot 2x=4x\]

Er begründet das mit der Faktorregel.

  1. Bestimme \(f′\) korrekt, indem du den Term zuerst ausmultiplizierst.
  2. Widerlege die Rechnung des Schülers durch einen Vergleich an einer geeigneten Stelle.
  3. Erkläre, warum die Faktorregel hier nicht anwendbar ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Multipliziere zuerst vollständig aus und leite dann summandenweise ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=2x^{3}+6x-x^{2}-3=2x^{3}-x^{2}+6x-3\) und damit \(f′(x)=6x^{2}-2x+6\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein einziges Gegenbeispiel genügt: Wähle eine bequeme Stelle, etwa \(x=1\), und vergleiche beide Ergebnisse.Zum Widerlegen reicht ein Wert, an dem sich die beiden Terme unterscheiden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

An der Stelle \(x=1\): korrekt \(f′(1)=6-2+6=10\); nach der Rechnung des Schülers dagegen \(4\cdot 1=4\). Beide Werte stimmen nicht überein, also ist die Rechnung falsch.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Faktorregel gilt nur, wenn einer der Faktoren eine Zahl ist — nicht, wenn beide von \(x\) abhängen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Faktorregel lautet \(\bigl(c\cdot g(x)\bigr)′=c\cdot g′(x)\) und setzt voraus, dass \(c\) eine Konstante ist. Hier hängen beide Faktoren von \(x\) ab; eine Regel für das Ableiten solcher Produkte (die Produktregel) steht in Klasse 11 noch nicht zur Verfügung. Antwortsatz: Solche Terme werden zuerst ausmultipliziert und dann summandenweise abgeleitet.