Zum NachschlagenZurück zur ErklärungWinkelarten, Kreisumfang, Einheitskreis und die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß.
Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zu Winkeln, Kreisumfang und Einheitskreis: Du rechnest zwischen Gradmaß und Bogenmaß um, bestimmst Bogenlängen und beurteilst Angaben aus der Technik.
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Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben. Der erste Teil sichert die Begriffe und den Einheitskreis, danach wird vor allem gerechnet: umrechnen, kürzen, abschätzen und kontrollieren. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.
1Die Fachbegriffe rund um den WinkelAFB I
Setze die fünf Begriffe an die richtigen Stellen.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.
Ein Winkel entsteht, wenn zwei von einem gemeinsamen ausgehen. Gemessen wird er als Bogen, der vom einen zum anderen läuft — und zwar . Der Kreis mit dem Radius \(r=1\) heißt . Die Länge des Bogens, den ein Winkel dort überstreicht, ist sein .
Fünf Wörter, die auf allen weiteren Seiten dieses Kapitels vorkommen. Durchmesser und Sehne sind zwar auch Begriffe am Kreis, haben aber mit der Winkelmessung nichts zu tun.
2Spitz, stumpf oder überstumpf?AFB I
Neun Winkelgrößen sollen einsortiert werden.
Ordne jeden Winkel der passenden Gruppe zu.Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1spitz: kleiner als 90°
2stumpf: zwischen 90° und 180°
3überstumpf: größer als 180°
Die Grenzen sind \(90^\circ\) und \(180^\circ\). Genau \(90^\circ\) heißt rechter Winkel und genau \(180^\circ\) gestreckter Winkel — beide gehören in keine der drei Gruppen und kommen deshalb hier nicht vor.
3Kreisumfang als Vielfaches von \(\pi\)AFB I
Es gilt \(U = 2\pi r\). Berechne den Umfang und gib jeweils nur die Zahl an, die vor dem \(\pi\) steht.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Enter prüft ebenfalls.
\(r = 3\): \(U =\) \(\cdot\,\pi\)
\(r = 0{,}5\): \(U =\) \(\cdot\,\pi\)
\(r = 7\): \(U =\) \(\cdot\,\pi\)
\(r = 1\) (Einheitskreis): \(U =\) \(\cdot\,\pi\)
Der Faktor vor \(\pi\) ist immer genau das Doppelte des Radius. Beim Einheitskreis mit \(r=1\) ergibt das \(U = 2\pi\) — und genau diese Zahl ist gleichzeitig der volle Winkel im Bogenmaß.
4Eine Umrechnung von HandAFB I
Rechne \(60^\circ\) ins Bogenmaß um. Runde auf drei Nachkommastellen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}047\). Zur Kontrolle: \(60^\circ\) ist ein Sechstel des vollen Winkels, und \(\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\).
5Vom Gradmaß ins BogenmaßAFB II
Vier Winkel im Gradmaß.
Rechne jeden Winkel ins Bogenmaß um und runde auf zwei Nachkommastellen.Alle vier Felder ausfüllen, dann gemeinsam prüfen. Enter prüft ebenfalls.
Immer derselbe Faktor \(\frac{\pi}{180^\circ}\): \(30 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0{,}52\), \(135 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 2{,}36\), \(225 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 3{,}93\), \(330 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 5{,}76\). Alle vier Werte liegen unter \(2\pi \approx 6{,}28\) — das muss so sein, denn keiner der Winkel ist größer als eine volle Umdrehung.
6Vom Bogenmaß ins GradmaßAFB II
Jetzt die Gegenrichtung. Rechne um und runde auf eine Nachkommastelle.
Der Faktor ist jetzt der Kehrwert. Gib das Ergebnis ohne Gradzeichen ein.
Mit \(\alpha = b \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) ergibt sich \(28{,}6^\circ\), \(57{,}3^\circ\), \(143{,}2^\circ\) und \(286{,}5^\circ\). Merke dir die zweite Zeile: Ein Bogenmaß von \(1\) sind knapp \(57^\circ\) — damit kannst du jedes Ergebnis in Sekunden grob abschätzen.
7Gradmaß und exakter \(\pi\)-AusdruckAFB II
Verbinde jeden Winkel mit seinem exakten Bogenmaß. Gerundete Zahlen brauchst du hier nicht.
Wähle links einen Winkel aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Ausdruck an.
Rechne immer den Bruch \(\frac{\alpha}{180}\) aus und kürze ihn: \(\frac{30}{180}=\frac16\), \(\frac{45}{180}=\frac14\), \(\frac{60}{180}=\frac13\), \(\frac{120}{180}=\frac23\), \(\frac{150}{180}=\frac56\). Das Ergebnis ist der Faktor vor \(\pi\).
8Rechenkette: \(225^\circ\) umrechnenAFB II
Rechne Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, geht es weiter.
Zahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft die aktuelle Zeile.
- Kürze den Bruch \(\frac{225}{180}\) und gib ihn als Dezimalzahl an.
- Multipliziere mit \(\pi\): \(1{,}25 \cdot \pi \approx\) (drei Nachkommastellen)
- Wie viel Prozent einer vollen Umdrehung sind \(225^\circ\)? (ohne Prozentzeichen)
- Rechne zur Probe zurück: \(3{,}927 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx\)
Der Weg \(\frac{225}{180} = \frac54 = 1{,}25\), also \(b = \frac54\pi \approx 3{,}927\). Die dritte Zeile ist eine Kontrolle mit anderen Mitteln: \(\frac{225}{360} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%\) — und tatsächlich ist \(\frac{3{,}927}{6{,}283} \approx 0{,}625\).
9Stimmt das?AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die zweite und die vierte Aussage sind die typischen Stolperstellen: Das Bogenmaß trägt nie ein Gradzeichen, und die Grenze für eine volle Umdrehung liegt bei \(2\pi \approx 6{,}28\), nicht bei \(360\).
10Was gilt am Einheitskreis?AFB II
Markiere alle Aussagen, die richtig sind.
Mehrere Antworten können richtig sein. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Radius ist immer \(1\) und ändert sich nie — nur der Zeiger dreht sich. Aus \(r=1\) folgt \(U = 2\pi\), und der Viertelumlauf ist ein Viertel davon: \(\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\).
11Den Zeiger einstellenAFB II
Stelle den Zeiger nacheinander auf die geforderten Winkel. Er rastet in Schritten von \(15^\circ\) ein.
Zieh den Punkt mit der Maus oder nutze die Pfeiltasten (Tab ins Bild, dann ←/→). Enter oder der Knopf setzen den Zeiger.
Die letzten beiden Teilaufgaben musst du erst umrechnen: Multipliziere den Faktor vor \(\pi\) mit \(180^\circ\). Das ist die Kurzform von \(\alpha = b \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\), wenn \(b\) schon als Vielfaches von \(\pi\) dasteht.
12Der Größe nach ordnenAFB II
Sechs Winkel — teils im Gradmaß, teils im Bogenmaß.
Ordne sie vom kleinsten zum größten Winkel.Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1\(b = 0{,}5\)
2\(45^\circ\)
3\(b = 1{,}2\)
4\(100^\circ\)
5\(b = 2\)
6\(200^\circ\)
Erst alles in dieselbe Einheit bringen: \(0{,}5 \to 28{,}6^\circ\), \(1{,}2 \to 68{,}8^\circ\), \(2 \to 114{,}6^\circ\). Damit lautet die Reihenfolge \(28{,}6^\circ < 45^\circ < 68{,}8^\circ < 100^\circ < 114{,}6^\circ < 200^\circ\). Die Faustregel „\(1\) im Bogenmaß \(\approx 57^\circ\)“ reicht hier völlig aus.
13Bogenlänge auf einem größeren KreisAFB III
Ein Kreis hat den Radius \(r = 4\,\text{cm}\). Ein Winkel von \(72^\circ\) schneidet daraus einen Bogen heraus.
Berechne die Länge dieses Bogens in Zentimetern. Runde auf zwei Nachkommastellen.Nur die Zahl eintragen, ohne Einheit. Enter prüft.
Auf dem Einheitskreis wäre der Bogen genau das Bogenmaß: \(72^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \approx 1{,}257\). Bei Radius \(r\) ist jede Länge \(r\)-mal so groß, also \(s = r \cdot b = 4 \cdot 1{,}257 \approx 5{,}03\,\text{cm}\). Kontrolle: \(72^\circ\) sind ein Fünftel des Kreises, und \(\frac{2\pi \cdot 4}{5} \approx 5{,}03\).
14\(210^\circ\) als Vielfaches von \(\pi\)AFB II
Das Bogenmaß von \(210^\circ\) lässt sich als \(\frac{z}{n}\cdot\pi\) schreiben. Gib den vollständig gekürzten Bruch an.
Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Enter prüft.
\(\frac{210}{180} = \frac{21}{18} = \frac76\), also \(b = \frac76\pi \approx 3{,}67\). Der Bruch ist größer als \(1\) und kleiner als \(2\) — das passt zu einem Winkel zwischen \(180^\circ\) und \(360^\circ\).
15Fehlersuche in einer UmrechnungAFB II
Ein Mitschüler rechnet \(240^\circ\) ins Bogenmaß um.
Klicke genau die Zeilen an, die falsch sind.In dieser Rechnung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 nennt den falschen Faktor, ab Zeile 3 wird trotzdem richtig weitergerechnet — der Fehler steckt also nur in der Begründung. Zeile 6 vergleicht zwei Zahlen falsch herum. Beides sind Fehler, die man in einer Klausur leicht übersieht, wenn man nur auf das Endergebnis schaut.
16Regler auf das GradmaßAFB II
Ein Winkel hat das Bogenmaß \(b = 3\). Berechne das Gradmaß, runde auf ganze Grad und stelle den Regler genau darauf.
17In welchem Quadranten endet der Zeiger?AFB II
Die vier Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn gezählt: I von \(0^\circ\) bis \(90^\circ\), II bis \(180^\circ\), III bis \(270^\circ\), IV bis \(360^\circ\).
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.
| I | II | III | IV | |
|---|---|---|---|---|
| \(200^\circ\) | ||||
| \(b = 1{,}2\) | ||||
| \(b = 3{,}5\) | ||||
| \(300^\circ\) | ||||
| \(b = 2\) | ||||
| \(95^\circ\) |
Die Bogenmaße musst du erst umrechnen: \(1{,}2 \to 68{,}8^\circ\) (I), \(3{,}5 \to 200{,}5^\circ\) (III), \(2 \to 114{,}6^\circ\) (II). Schneller geht es mit den Grenzen im Bogenmaß: \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), \(\pi \approx 3{,}14\), \(\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\).
18Beide Richtungen in einer AufgabeAFB II
Berechne beide Werte. Runde das Bogenmaß auf zwei und das Gradmaß auf eine Nachkommastelle.
Beide Felder ausfüllen, dann gemeinsam prüfen. Enter prüft.
\(144 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 2{,}513\), gerundet \(2{,}51\). Und \(0{,}9 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 51{,}566\), gerundet \(51{,}6^\circ\). Achte darauf, welcher Faktor in welche Richtung gehört — die beiden sind Kehrwerte voneinander.
19Volle Umdrehungen abziehenAFB III
Gesucht ist jeweils der Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) bzw. zwischen \(0\) und \(2\pi\), bei dem der Zeiger an derselben Stelle steht. Rechne und trage ein.
Bei den Gradmaßen ohne Gradzeichen eintragen, beim Bogenmaß auf zwei Nachkommastellen runden.
\(810^\circ\) → \(^\circ\)
\(1125^\circ\) → \(^\circ\)
\(-30^\circ\) → \(^\circ\)
\(b = 7{,}5\) →
Ziehe so oft \(360^\circ\) (bzw. \(2\pi \approx 6{,}283\)) ab, bis du im Grundbereich landest — oder addiere, wenn der Winkel negativ ist: \(810 - 720 = 90\), \(1125 - 1080 = 45\), \(-30 + 360 = 330\), \(7{,}5 - 6{,}283 \approx 1{,}22\). Genau diese Rechnung brauchst du im nächsten Unterkapitel wieder, wenn Sinus und Cosinus von großen Winkeln gesucht sind.
20Ablauf: die Länge eines KreisbogensAFB III
Ein Kreis hat den Radius \(r = 6\,\text{cm}\). Ein Mittelpunktswinkel von \(150^\circ\) schneidet einen Bogen heraus.
Spiele die Rechnung Schritt für Schritt durch.Was ist der nächste richtige Schritt? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Die Formel dahinter lautet \(s = r \cdot b\) mit \(b\) im Bogenmaß: \(s = 6 \cdot \frac56\pi = 5\pi \approx 15{,}71\,\text{cm}\). Sie ist der Grund dafür, dass das Bogenmaß überhaupt eingeführt wird — mit dem Gradmaß gäbe es keine so kurze Formel.