Riesenrad im Freizeitpark
AFB IEin Riesenrad in einem Freizeitpark hat einen Radius von \(r = 30\) Metern. An seinem Rand hängen \(24\) Gondeln, die alle den gleichen Abstand voneinander haben. Für den Umfang der Kreisbahn gilt $$U = 2\pi r \qquad\text{mit}\quad [U] = \mathrm{m}.$$ Das Rad dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.
- Berechne den Winkel zwischen zwei benachbarten Gondeln im Gradmaß und rechne ihn anschließend ins Bogenmaß um.
- Berechne den Umfang der Kreisbahn und den Weg, den eine Gondel bis zur Position der übernächsten Gondel zurücklegt.
- Gib an welchen Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß eine Gondel überstreicht, die vom tiefsten Punkt bis zum höchsten Punkt fährt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der volle Winkel wird in \(24\) gleiche Teile zerlegt: $$\alpha = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ.$$ Umrechnung ins Bogenmaß: $$b = 15^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{12} \approx 0{,}26.$$ Zwischen zwei benachbarten Gondeln liegen also \(15^\circ\) beziehungsweise \(\frac{\pi}{12} \approx 0{,}26\) im Bogenmaß.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Umfang: $$U = 2\pi \cdot 30 = 60\pi \approx 188{,}50\ \mathrm{m}.$$ Ein Abschnitt zwischen zwei benachbarten Gondeln ist \(\frac{U}{24}\) lang, bis zur übernächsten Gondel sind es zwei davon: $$s = \frac{2}{24} \cdot 60\pi = 5\pi \approx 15{,}71\ \mathrm{m}.$$ Der Umfang beträgt rund \(188{,}50\ \mathrm{m}\), der gesuchte Weg rund \(15{,}71\ \mathrm{m}\). Kontrolle über den Winkel: \(30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 30\ \mathrm{m} = 5\pi\ \mathrm{m}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Tiefster und höchster Punkt liegen sich diametral gegenüber, die Gondel legt einen halben Umlauf zurück. Das ist der gestreckte Winkel: $$\alpha = 180^\circ \qquad\text{und}\qquad b = \pi \approx 3{,}14.$$ Der Bogen ist ein Halbkreis, die Gondel fährt dabei \(\frac{60\pi}{2} = 30\pi \approx 94{,}25\ \mathrm{m}\) weit.
Rundsichtradar am Flughafen
AFB IIDie Antenne eines Rundsichtradars am Flughafen dreht sich gleichmäßig gegen den Uhrzeigersinn und schafft \(12{,}5\) volle Umdrehungen pro Minute. Die Rechnereinheit des Radars verarbeitet alle Winkel im Bogenmaß, die Anzeige im Tower zeigt sie dagegen im Gradmaß an.
- Berechne den Winkel, den die Antenne in einer Sekunde überstreicht, im Gradmaß und im Bogenmaß.
- Bestimme die Zeit, die die Antenne benötigt, um einen Winkel von \(2{,}5\) im Bogenmaß zu überstreichen.
- Überprüfe die Aussage eines Technikers: „Die Antenne überstreicht pro Sekunde mehr als einen Winkel von \(1\) im Bogenmaß, und ein Winkel von \(1\) im Bogenmaß ist größer als \(60^\circ\).“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Dauer einer Umdrehung: $$T = \frac{60\ \mathrm{s}}{12{,}5} = 4{,}8\ \mathrm{s}.$$ In dieser Zeit werden \(360^\circ\) überstrichen, pro Sekunde also $$\frac{360^\circ}{4{,}8} = 75^\circ.$$ Im Bogenmaß: $$75^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{12} \approx 1{,}31.$$ Die Antenne überstreicht pro Sekunde \(75^\circ\), das entspricht \(\approx 1{,}31\) im Bogenmaß.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Umrechnung ins Gradmaß: $$\alpha = 2{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 143{,}24^\circ.$$ Mit \(75^\circ\) pro Sekunde folgt $$t = \frac{143{,}24^\circ}{75^\circ/\mathrm{s}} \approx 1{,}91\ \mathrm{s}.$$ Die Antenne braucht rund \(1{,}91\ \mathrm{s}\). Kontrolle ohne Umweg über das Gradmaß: \(t = \frac{2{,}5}{5\pi/12} = \frac{6}{\pi} \approx 1{,}91\ \mathrm{s}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Erster Teil: Pro Sekunde werden \(\frac{5\pi}{12} \approx 1{,}31\) überstrichen, und \(1{,}31 > 1\). Dieser Teil ist zutreffend.
Zweiter Teil: $$1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}30^\circ.$$ Wegen \(57{,}30^\circ < 60^\circ\) ist dieser Teil nicht zutreffend. Ein Winkel von \(1\) im Bogenmaß ist knapp kleiner als \(60^\circ\), also etwas weniger als zwei Drittel des rechten Winkels. Insgesamt ist die Aussage damit falsch.
Entfernung entlang eines Meridians
AFB IIIn der Navigation wird die Erde näherungsweise als Kugel mit dem Radius \(r = 6371\ \mathrm{km}\) beschrieben. Ein Großkreis ist ein Kreis auf der Erdoberfläche, dessen Mittelpunkt der Erdmittelpunkt ist; jeder Längenkreis (Meridian) ist ein solcher Großkreis. Hamburg liegt bei \(53{,}55^\circ\) nördlicher Breite, Stuttgart bei \(48{,}78^\circ\) nördlicher Breite. Beide Städte liegen näherungsweise auf demselben Meridian.
- Berechne den Umfang der Erde entlang eines Großkreises.
- Bestimme den Winkel zwischen den beiden Städten, gemessen vom Erdmittelpunkt aus, im Gradmaß und im Bogenmaß.
- Berechne die Entfernung der beiden Städte entlang des Meridians.
- Zeige dass einem Winkel von \(1^\circ\) auf einem Großkreis eine Strecke von rund \(111\ \mathrm{km}\) entspricht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
$$U = 2\pi r = 2\pi \cdot 6371\ \mathrm{km} \approx 40030\ \mathrm{km}.$$ Der Erdumfang beträgt rund \(40\,030\ \mathrm{km}\). Das passt zum bekannten Wert von etwa \(40\,000\ \mathrm{km}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Differenz der Breitengrade: $$\alpha = 53{,}55^\circ - 48{,}78^\circ = 4{,}77^\circ.$$ Umrechnung ins Bogenmaß: $$b = 4{,}77^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0{,}0833.$$ Der Mittelpunktswinkel beträgt \(4{,}77^\circ\) beziehungsweise \(\approx 0{,}0833\) im Bogenmaß. Der kleine Zahlenwert im Bogenmaß ist plausibel, denn \(4{,}77^\circ\) ist nur ein winziger Teil des vollen Umlaufs \(2\pi \approx 6{,}28\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Bogenmaß ist die Bogenlänge im Einheitskreis. Auf einem Kreis mit dem Radius \(r\) gilt daher $$s = r \cdot b.$$ Einsetzen: $$s = 6371\ \mathrm{km} \cdot 0{,}08325 \approx 530{,}4\ \mathrm{km}.$$ Die Städte sind entlang des Meridians rund \(530\ \mathrm{km}\) voneinander entfernt. Kontrolle über den Anteil am Umfang: \(\frac{4{,}77^\circ}{360^\circ} \cdot 40030\ \mathrm{km} \approx 530{,}4\ \mathrm{km}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Erster Weg über das Bogenmaß: $$1^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0{,}017453, \qquad s = 6371\ \mathrm{km} \cdot 0{,}017453 \approx 111{,}2\ \mathrm{km}.$$ Zweiter Weg über den Umfang: $$s = \frac{40030\ \mathrm{km}}{360} \approx 111{,}2\ \mathrm{km}.$$ Beide Wege liefern rund \(111\ \mathrm{km}\) pro Grad. Deshalb rechnet man in der Navigation grob mit \(111\ \mathrm{km}\) je Breitengrad.
Kreisdiagramm eines Jahresumsatzes
AFB IIEin Softwareunternehmen erwirtschaftet einen Jahresumsatz von \(4{,}8\) Mio. €. Die Geschäftsleitung stellt die vier Sparten in einem Kreisdiagramm mit dem Radius \(r = 5\ \mathrm{cm}\) dar: Software \(2{,}16\) Mio. €, Hardware \(1{,}44\) Mio. €, Service \(0{,}96\) Mio. € und Schulungen \(0{,}24\) Mio. €.
Jeder Sparte wird ein Kreissektor zugeordnet, dessen Mittelpunktswinkel dem Umsatzanteil entspricht: Der volle Winkel \(360^\circ\) steht für den gesamten Umsatz.
- Berechne den Mittelpunktswinkel des Sektors „Software“ im Gradmaß und im Bogenmaß.
- Ermittle die Länge des Kreisbogens, der den Sektor „Hardware“ am Rand des Diagramms begrenzt.
- Bestimme den Umsatz einer weiteren Sparte, deren Sektor im nächsten Jahresbericht den Mittelpunktswinkel \(0{,}5\) im Bogenmaß haben soll.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Anteil: $$\frac{2{,}16}{4{,}8} = 0{,}45 = 45\ \%.$$ Mittelpunktswinkel: $$\alpha = 0{,}45 \cdot 360^\circ = 162^\circ.$$ Im Bogenmaß: $$b = 162^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{9\pi}{10} \approx 2{,}83.$$ Der Sektor „Software“ hat den Mittelpunktswinkel \(162^\circ\), also \(\approx 2{,}83\) im Bogenmaß.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Anteil: \(\frac{1{,}44}{4{,}8} = 0{,}30\), also $$\alpha = 0{,}30 \cdot 360^\circ = 108^\circ.$$ Bogenmaß: $$b = 108^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{5} \approx 1{,}885.$$ Bogenlänge auf dem Kreis mit \(r = 5\ \mathrm{cm}\): $$s = r \cdot b = 5\ \mathrm{cm} \cdot 1{,}885 \approx 9{,}42\ \mathrm{cm}.$$ Der Bogen ist rund \(9{,}42\ \mathrm{cm}\) lang. Kontrolle: \(30\ \%\) des Umfangs \(2\pi \cdot 5\ \mathrm{cm} \approx 31{,}42\ \mathrm{cm}\) sind ebenfalls \(9{,}42\ \mathrm{cm}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Anteil am vollen Winkel: $$\frac{0{,}5}{2\pi} \approx 0{,}0796 = 7{,}96\ \%.$$ Umsatz: $$0{,}0796 \cdot 4{,}8\ \text{Mio. €} \approx 0{,}382\ \text{Mio. €},$$ also rund \(382\,000\) €. Kontrolle über das Gradmaß: \(0{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 28{,}65^\circ\) und \(\frac{28{,}65^\circ}{360^\circ} \cdot 4{,}8\ \text{Mio. €} \approx 0{,}382\ \text{Mio. €}\).
Drehgeber an einem Roboterarm
AFB IIIAm Drehgelenk eines Industrieroboters sitzt ein Drehgeber, der die Stellung des Gelenks misst. Er liefert bei einer vollen Umdrehung \(2048\) Impulse; die Steuerung zählt die Impulse und rechnet intern ausschließlich im Bogenmaß.
Bei einer Prüfung wurden zu vier Zählwerten \(n\) die von der Steuerung ausgegebenen Bogenmaße \(b\) notiert: \(n = 128 \to b = 0{,}3927\); \(n = 256 \to b = 0{,}7854\); \(n = 512 \to b = 1{,}5708\); \(n = 1024 \to b = 3{,}1416\).
- Ermittle aus den Messwerten eine Funktionsgleichung \(b(n)\), die jedem Zählwert \(n\) das zugehörige Bogenmaß zuordnet.
- Berechne mit deiner Funktionsgleichung das Bogenmaß und das Gradmaß für den Zählwert \(n = 300\).
- Beurteile die Werbeaussage des Herstellers: „Unser Drehgeber löst den Vollkreis feiner als \(0{,}2^\circ\) auf.“
- Bewerte den Vorschlag eines Technikers, den Drehgeber gegen ein Modell mit \(3600\) Impulsen pro Umdrehung auszutauschen, weil das Gelenk künftig auf \(0{,}05^\circ\) genau eingestellt werden soll.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Quotienten sind konstant: $$\frac{0{,}3927}{128} \approx \frac{0{,}7854}{256} \approx \frac{1{,}5708}{512} \approx \frac{3{,}1416}{1024} \approx 0{,}003068.$$ Das Bogenmaß wächst also proportional zum Zählwert. Eine volle Umdrehung sind \(2048\) Impulse und im Bogenmaß \(2\pi\), also entfällt auf einen Impuls $$\frac{2\pi}{2048} = \frac{\pi}{1024} \approx 0{,}003068.$$ Damit gilt $$b(n) = \frac{\pi}{1024}\, n \approx 0{,}003068 \cdot n.$$ Probe: \(b(1024) = \pi \approx 3{,}1416\) — das passt zum Messwert, denn \(1024\) Impulse sind ein halber Umlauf.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
$$b(300) = \frac{\pi}{1024} \cdot 300 \approx 0{,}9204.$$ Umrechnung ins Gradmaß: $$\alpha = 0{,}9204 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 52{,}73^\circ.$$ Das Gelenk steht also bei \(\approx 0{,}92\) im Bogenmaß beziehungsweise \(\approx 52{,}73^\circ\). Kontrolle über den Anteil: \(\frac{300}{2048} \cdot 360^\circ = 52{,}734375^\circ\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Auf einen Impuls entfällt $$\frac{360^\circ}{2048} = 0{,}17578125^\circ \approx 0{,}176^\circ,$$ im Bogenmaß \(\frac{2\pi}{2048} \approx 0{,}003068\). Wegen \(0{,}176^\circ < 0{,}2^\circ\) ist die Aussage zutreffend. Zu bedenken ist allerdings: Die Aussage betrifft nur die rechnerische Auflösung des Zählers. Ob das Gelenk tatsächlich so genau positioniert wird, hängt zusätzlich von Getriebespiel und Regelung ab — die Angabe ist eine obere Schranke für die Genauigkeit, keine Garantie.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Neues Modell: $$\frac{360^\circ}{3600} = 0{,}1^\circ \qquad\text{bzw.}\qquad \frac{2\pi}{3600} \approx 0{,}001745.$$ Der Austausch verbessert die Auflösung von \(0{,}176^\circ\) auf \(0{,}1^\circ\), also etwa um den Faktor \(1{,}76\). Die geforderten \(0{,}05^\circ\) werden aber nicht erreicht, denn \(0{,}05^\circ < 0{,}1^\circ\).
Nötig wären mindestens $$\frac{360^\circ}{0{,}05^\circ} = 7200$$ Impulse pro Umdrehung. Der Vorschlag ist deshalb nicht geeignet, das gesteckte Ziel zu erreichen: Er bringt zwar eine Verbesserung, verfehlt die Vorgabe aber um den Faktor \(2\). Sinnvoll wäre ein Geber mit \(7200\) oder mehr Impulsen — oder eine Untersetzung im Getriebe, die eine Gelenkdrehung auf mehrere Umdrehungen des Gebers verteilt.