Einfluss des Vorfaktors a: Übungen – Mathe Klasse 11

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie allgemeine Form a·(x+d)ⁿ+e, das Parameter-Labor und die Übungen A1 bis A8 zu Vorfaktor und Verschiebung.

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20 Übungsaufgaben

1Was macht der Vorfaktor?AFB I

Alle sechs Funktionen haben die Form \(f(x)=a\cdot x^{3}\) — sie unterscheiden sich nur im Vorfaktor \(a\).

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz bei der Wirkung, die der Vorfaktor hat.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

	Streckung	Stauchung	Streckung und Spiegelung	Stauchung und Spiegelung
\(a=1{,}8\)
\(a=3\)
\(a=0{,}5\)
\(a=0{,}25\)
\(a=-2\)
\(a=-\frac{1}{3}\)

Bei einem negativen Vorfaktor entscheidet der Betrag über die Steilheit und das Vorzeichen über die Spiegelung. \(|-2|=2\gt1\) streckt also, \(\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}\) liegt zwischen 0 und 1 und staucht — beide spiegeln zusätzlich an der \(x\)-Achse.

2Nach links verschiebenAFB II

Der Graph von \(y=x^{2}\) wird um \(3{,}25\) nach links verschoben.

Gib die Funktionsgleichung des verschobenen Graphen an. Schreibweise: (x+1)^2.

Gib den Term ein. Potenzen mit ^, Klammern nicht vergessen. Enter prüft.

Nach links verschieben heißt: in der Klammer addieren. Also \(d=3{,}25\) und \(y=(x+3{,}25)^{2}\). Probe: Der tiefste Punkt liegt jetzt bei \(x=-3{,}25\), denn dort wird die Klammer null.

3Vier Parameter auf einen BlickAFB II

Gegeben ist \(f(x)=-2\cdot(x-3)^{4}+1\).

Wähle alle Aussagen aus, die auf diesen Graphen zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

In der Klammer steht \((x-3)\), also \(d=-3\) — und \(d\lt0\) verschiebt nach rechts. Der Summand \(e=+1\) hebt den Graphen an. An der Stelle \(x=3\) wird die Klammer null, also ist \(f(3)=-2\cdot0+1=1\). Der Exponent 4 bleibt unangetastet: Die Grundgestalt ist eine flache Parabel vierten Grades, keine Hyperbel.

4Parameter ablesenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=-0{,}5\cdot(x+4)^{3}-2\) in der allgemeinen Form \(f(x)=a\cdot(x+d)^{n}+e\).

Lies die vier Parameter ab und trage sie ein.

Alle vier Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(n=\)\(a=\)\(d=\)\(e=\)

Der Exponent \(n=3\) legt die Grundgestalt fest (Kurve dritten Grades). Der Vorfaktor \(a=-0{,}5\) staucht und spiegelt an der \(x\)-Achse. Vorsicht bei \(d\): In der Klammer steht \((x+4)\), also ist \(d=+4\) — eine Verschiebung um 4 nach links. Am Ende wird \(e=-2\) addiert, der Graph rutscht also noch 2 nach unten.

5Den Vorfaktor aus einem Punkt bestimmenAFB II

Der Graph von \(f(x)=a\cdot x^{3}\) verläuft durch den Punkt \(P(2\,|\,20)\).

Berechne den Vorfaktor \(a\) und stelle ihn am Regler genau ein.

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert und prüfe dann.

-44

Einsetzen des Punktes ergibt \(20=a\cdot2^{3}=8a\), also \(a=\frac{20}{8}=2{,}5\). Wegen \(2{,}5\gt1\) ist der Graph gegenüber \(y=x^{3}\) gestreckt, er verläuft also steiler. Probe: \(2{,}5\cdot8=20\) ✓.

6Zwei verschobene Graphen in der WertetabelleAFB II

Gegeben sind \(f(x)=2\cdot(x+1)^{2}-3\) und \(g(x)=-0{,}5\cdot x^{3}+1\).

Berechne alle zehn Funktionswerte. Rechne immer zuerst die Klammer und die Potenz aus, dann den Vorfaktor, zuletzt den Summanden.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

\(x\)	\(f(x)=2(x+1)^{2}-3\)	\(g(x)=-0{,}5x^{3}+1\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(2\)

Beispiel \(f(-3)\): erst \((-3+1)^{2}=4\), dann \(2\cdot4=8\), dann \(8-3=5\). Beispiel \(g(-3)\): erst \((-3)^{3}=-27\), dann \(-0{,}5\cdot(-27)=13{,}5\), dann \(+1=14{,}5\). An der Stelle \(x=-1\) wird bei \(f\) die Klammer null — dort liegt der tiefste Punkt bei \(f(-1)=-3\), also genau um 1 nach links und 3 nach unten verschoben.

7Aussagen zu a, d und e prüfenAFB II

Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Fünf Aussagen nacheinander.

Aussage 1 von 5

\(a\) verändert die Steilheit und gegebenenfalls die Richtung, \(d\) und \(e\) verschieben den fertigen Graphen nur — ohne ihn zu verformen. Nur bei \(d\) dreht sich die Wirkung gegenüber dem Vorzeichen um.

8Strecken, stauchen, spiegelnAFB II

Neun Funktionsgleichungen, neun Vorfaktoren. Entscheidend sind Betrag und Vorzeichen von \(a\).

Ordne jede Gleichung der Wirkung ihres Vorfaktors zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Streckung, keine Spiegelung

2Stauchung, keine Spiegelung

3mit Spiegelung an der x-Achse

Für die ersten beiden Körbe zählt nur, ob \(a\gt1\) oder \(0\lt a\lt1\) gilt — der Exponent spielt dabei keine Rolle. Sobald \(a\) negativ ist, kommt die Spiegelung an der \(x\)-Achse dazu; \(-2\) streckt dabei, \(-\frac{1}{3}\) staucht und \(-1\) lässt die Steilheit unverändert.

9Eine Gleichung Schritt für Schritt lösenAFB III

An welchen Stellen nimmt \(f(x)=0{,}5x^{-2}-1\) den Wert 5 an?

Löse die Gleichung \(0{,}5x^{-2}-1=5\) Schritt für Schritt. Runde dort, wo es verlangt ist.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Enter prüft.

Addiere auf beiden Seiten 1: \(0{,}5x^{-2}=\)
Teile durch \(0{,}5\): \(x^{-2}=\)
Wegen \(x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\) folgt \(x^{2}=\frac{1}{12}\). Gib diesen Wert auf vier Nachkommastellen an.
Berechne die positive Lösung \(x_{1}=\sqrt{\frac{1}{12}}\) auf drei Nachkommastellen.
Und wie lautet die zweite Lösung \(x_{2}\)?

Erst \(+1\), dann \(:0{,}5\) ergibt \(x^{-2}=12\), also \(x^{2}=\frac{1}{12}\approx0{,}0833\). Weil der Exponent \(-2\) gerade ist, liefert das Wurzelziehen zwei Lösungen: \(x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{1}{12}}\approx\pm0{,}289\). Bei einem ungeraden Exponenten wie \(-1\) gäbe es dagegen nur eine Lösung.

10Einen Funktionswert übertragenAFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{5}\); bekannt ist \(f(2)=32\).

Berechne daraus \(f(-2)+5\), ohne die Potenz noch einmal auszurechnen.

Trage nur die Zahl ein — Enter prüft.

Der Exponent 5 ist ungerade, der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung — deshalb wechselt der Funktionswert das Vorzeichen: \(f(-2)=-32\). Damit ist \(f(-2)+5=-32+5=-27\).

11Sechs Vorfaktoren der Größe nachAFB II

Alle sechs Gleichungen haben die Form \(y=a\cdot x^{3}\).

Ordne sie nach ihrem Funktionswert an der Stelle \(x=2\) — beginnend mit dem kleinsten. Rechne dazu jeden Wert zuerst aus.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1\(y=-2x^{3}\)

2\(y=-0{,}5x^{3}\)

3\(y=-\frac{1}{3}x^{3}\)

4\(y=0{,}5x^{3}\)

5\(y=x^{3}\)

6\(y=1{,}8x^{3}\)

Wegen \(2^{3}=8\) ist der Funktionswert einfach \(8a\): \(-16\), \(-4\), \(-\frac{8}{3}\approx-2{,}67\), \(4\), \(8\) und \(14{,}4\). Bei den negativen Vorfaktoren dreht sich die Reihenfolge um — je größer der Betrag, desto kleiner der Wert.

12Fünfmal den Vorfaktor berechnenAFB II

Jeder Graph hat die Form \(y=a\cdot x^{n}\) und verläuft durch den angegebenen Punkt.

Berechne jeweils den Vorfaktor \(a\). Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal.

Funktion	\(y=a\cdot x^{2}\)	\(y=a\cdot x^{3}\)	\(y=a\cdot x^{4}\)	\(y=a\cdot x^{5}\)	\(y=a\cdot x^{-2}\)
Punkt	\(P(3\,\|\,18)\)	\(P(-2\,\|\,4)\)	\(P(2\,\|\,24)\)	\(P(-1\,\|\,7)\)	\(P(4\,\|\,0{,}5)\)
Vorfaktor \(a\)

Man setzt den Punkt ein und löst nach \(a\) auf: \(18=a\cdot3^{2}=9a\Rightarrow a=2\); \(4=a\cdot(-2)^{3}=-8a\Rightarrow a=-0{,}5\); \(24=a\cdot2^{4}=16a\Rightarrow a=1{,}5\); \(7=a\cdot(-1)^{5}=-a\Rightarrow a=-7\); \(0{,}5=a\cdot4^{-2}=\frac{a}{16}\Rightarrow a=8\). Zwei Vorfaktoren sind negativ — dort ist der Graph zusätzlich an der \(x\)-Achse gespiegelt.

13Einen Funktionsterm zusammenbauenAFB II

Der Graph von \(y=x^{4}\) wird an der \(x\)-Achse gespiegelt, doppelt so steil gemacht, um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben.

Baue den passenden Funktionsterm aus den Bausteinen zusammen. Vier Bausteine bleiben übrig.

Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an — ein Klick auf einen belegten Platz räumt ihn wieder.

Spiegelung und doppelte Steilheit stecken beide im Vorfaktor: \(a=-2\). „3 nach rechts“ heißt \(d=-3\) und damit die Klammer \((x-3)\); der Exponent 4 bleibt erhalten, weil sich die Grundgestalt nicht ändert. „1 nach oben“ ergibt \(e=+1\). Zusammen: \(f(x)=-2\cdot(x-3)^{4}+1\).

14Fehlersuche beim GleichungslösenAFB III

Ein Schüler sucht die Stelle, an der \(f(x)=x^{-1}+1\) den Wert 5 annimmt. Zwei Zeilen sind falsch.

Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.

Der Fehler in Zeile 4 zieht die falsche Probe in Zeile 6 nach sich. Eine Probe, die nicht aufgeht, ist kein „passt“, sondern ein Warnsignal. Zeile 5 stimmt dagegen: Bei ungeradem Exponenten gibt es genau eine Lösung, bei geradem zwei.

15Term und Beschreibung verbindenAFB II

Alle fünf Graphen entstehen aus \(y=x^{4}\).

Verbinde jeden Term mit der Beschreibung, die zu ihm gehört.

Klicke links einen Term an und dann rechts die passende Beschreibung.

Steht die Zahl vor der Potenz, verändert sie die Steilheit; steht sie in der Klammer, verschiebt sie waagerecht — und zwar entgegen ihrem Vorzeichen; steht sie hinter der Potenz, verschiebt sie senkrecht. Nur \(y=-x^{4}+1\) hat ein negatives \(a\) und wird deshalb umgeklappt.

16Zwei Lösungen einer GleichungAFB III

Gesucht sind die Stellen, an denen \(f(x)=2x^{-2}\) den Wert 5 annimmt.

Löse die Gleichung \(2x^{-2}=5\) und trage beide Lösungen ein, auf drei Nachkommastellen gerundet. \(x_{1}\) ist die kleinere Zahl.

Beide Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(x_{1}=\)\(x_{2}=\)

Aus \(2x^{-2}=5\) wird \(\frac{2}{x^{2}}=5\), also \(2=5x^{2}\) und damit \(x^{2}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Der Exponent \(-2\) ist gerade, deshalb gibt es zwei Lösungen: \(x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\approx\pm0{,}632\). Achte darauf, nicht durch 2 statt durch 5 zu teilen.

17Spiegeln und verschieben in einem TermAFB III

Der Graph von \(y=x^{3}\) wird an der \(x\)-Achse gespiegelt, dann um 2 nach rechts und um 4 nach oben verschoben. Die Steilheit bleibt unverändert.

Gib den Funktionsterm an. Schreibweise: -(x-1)^3+2.

Gib den Term ein. Potenzen mit ^. Enter prüft.

Spiegeln an der \(x\)-Achse ohne Streckung bedeutet \(a=-1\). „2 nach rechts“ ergibt die Klammer \((x-2)\), „4 nach oben“ den Summanden \(+4\). Zusammen: \(f(x)=-(x-2)^{3}+4\). Probe: An der Stelle \(x=2\) wird die Klammer null, also \(f(2)=4\) — genau um 4 über dem Ursprung der Ausgangskurve.

18Funktionswerte aus der Symmetrie übertragenAFB II

Gegeben sind \(g(x)=x^{6}\) mit \(g(3)=729\) und \(f(x)=x^{5}\) mit \(f(2)=32\).

Spiele den Lösungsweg durch — nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch.

Gerader Exponent → Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, der Wert bleibt gleich. Ungerader Exponent → Punktsymmetrie zum Ursprung, der Wert wechselt das Vorzeichen. So überträgt man einen bekannten Funktionswert auf die negative Stelle, ohne noch einmal zu potenzieren.

19Der Merksatz zu a, d und eAFB I

Fülle den Lückentext mit den passenden Bausteinen. Vier Bausteine bleiben übrig.

Klicke erst einen Baustein an und dann die Lücke, in die er gehört.

Im Term \(f(x)=a\cdot(x+d)^{n}+e\) entscheidet der Exponent über die Grundgestalt. Ein Vorfaktor mit \(a\gt1\) bewirkt eine des Graphen, ein Vorfaktor mit \(0\lt a\lt1\) dagegen eine . Ist \(a\) negativ, wird der Graph zusätzlich an der gespiegelt. Der Parameter \(d\gt0\) verschiebt den Graphen nach , ein negatives \(e\) verschiebt ihn nach .

Der Exponent bestimmt die Gestalt (Parabel, Kurve dritten Grades, Hyperbel, Wurzelkurve), der Vorfaktor die Steilheit und die Richtung, \(d\) und \(e\) nur die Lage. Die einzige Stelle, an der man sich leicht vertut, ist \(d\): Ein positives \(d\) verschiebt nach links.

20Die Wirkung von a mit dem EntscheidungsbaumAFB I

Gegeben ist \(f(x)=-\frac{1}{3}\cdot x^{3}\), der Vorfaktor ist also \(a=-\frac{1}{3}\).

Bestimme mit dem Entscheidungsbaum, was dieser Vorfaktor mit dem Graphen macht.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Der Vorfaktor \(-\frac{1}{3}\) ist negativ, sein Betrag \(\frac{1}{3}\) liegt zwischen 0 und 1. Also wird der Graph gestaucht und an der \(x\)-Achse gespiegelt. Genau deshalb lohnt sich der getrennte Blick: Der Betrag entscheidet über die Steilheit, das Vorzeichen über die Spiegelung.

Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zur allgemeinen Form f(x)=acdot (x+d)n+e: Vorfaktoren aus Messwerten bestimmen, Streckung, Stauchung und Spiegelung im Sachkontext deuten und zwei Modelle an echten Daten prüfen. WeiterZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel des Kapitels Funktionen auf einen Blick.

Interaktive ÜbungDer Vorfaktor a

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