Einfluss des Vorfaktors a: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Bremsweg auf nasser Fahrbahn

AFB I

In der Fahrschule wird der Bremsweg eines Pkw mit einer Potenzfunktion beschrieben. Dabei ist $v$ die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde und $s(v)$ der Bremsweg in Metern. Auf trockener Fahrbahn rechnet man mit $$s(v)=0{,}005\cdot v^{2}\qquad\text{mit}\quad [s]=\mathrm{m}.$$ Auf nasser Fahrbahn verdoppelt sich der Vorfaktor auf $a=0{,}01$. Der Exponent bleibt in beiden Fällen $2$, die Grundgestalt ist also weiterhin eine nach oben geöffnete Parabel.

Berechne den Bremsweg auf trockener Fahrbahn für $v=50$, $v=100$ und $v=120$.
Gib an welche Wirkung der Vorfaktor $a=0{,}005$ auf den Graphen der Normalparabel $y=x^{2}$ hat.
Beschreibe wie sich der Graph beim Wechsel von trockener auf nasse Fahrbahn verändert, und berechne, um wie viele Meter der Bremsweg bei $v=100$ dabei länger wird.

Hinweis zu Aufgabe a)

Quadriere zuerst die Geschwindigkeit und multipliziere das Ergebnis danach mit $0{,}005$.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$s(50)=0{,}005\cdot 50^{2}=0{,}005\cdot 2500=12{,}5$, also $12{,}5\ \mathrm{m}$.

$s(100)=0{,}005\cdot 100^{2}=0{,}005\cdot 10\,000=50$, also $50\ \mathrm{m}$.

$s(120)=0{,}005\cdot 120^{2}=0{,}005\cdot 14\,400=72$, also $72\ \mathrm{m}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche $0{,}005$ mit der Zahl $1$. Entscheidend ist, ob der Vorfaktor größer als $1$ ist oder zwischen $0$ und $1$ liegt.„Gib an“ verlangt die Angabe ohne Herleitung — dafür aber mit dem korrekten Fachwort.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es gilt $0<0{,}005<1$. Der Vorfaktor bewirkt daher eine Stauchung: Die Parabel verläuft sehr viel flacher als $y=x^{2}$. Eine Spiegelung an der $x$-Achse findet nicht statt, denn $a$ ist positiv.

Hinweis zu Aufgabe c)

Der Vorfaktor verdoppelt sich. Überlege zuerst, was dadurch mit jedem einzelnen Funktionswert geschieht, und rechne den Wert für $v=100$ danach neu aus.„Beschreibe“ verlangt eine geordnete Darstellung in Fachsprache — hier die Wirkung auf den Graphen und den Zahlenwert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Vorfaktor wächst von $0{,}005$ auf $0{,}01$, also auf das Doppelte. Jeder Funktionswert wird damit verdoppelt: Gegenüber der trockenen Kurve ist die nasse Kurve in $y$-Richtung um den Faktor $2$ gestreckt. Gegenüber der Normalparabel $y=x^{2}$ bleibt es wegen $0<0{,}01<1$ trotzdem eine Stauchung — die beiden Aussagen widersprechen sich nicht, weil sie sich auf verschiedene Vergleichskurven beziehen.

Für $v=100$ gilt $s_{\text{nass}}(100)=0{,}01\cdot 10\,000=100\ \mathrm{m}$. Der Bremsweg wächst also von $50\ \mathrm{m}$ auf $100\ \mathrm{m}$ und wird damit um $50\ \mathrm{m}$ länger.

Leistung einer Windkraftanlage

AFB II

Die Leistung einer Windkraftanlage hängt von der Windgeschwindigkeit $v$ in Metern pro Sekunde ab. Für die Anlage eines Herstellers gilt $$P(v)=1{,}2\cdot v^{3}\qquad\text{mit}\quad [P]=\mathrm{kW}.$$ Der Vorfaktor fasst Rotorfläche, Luftdichte und Wirkungsgrad zusammen und ist von Anlage zu Anlage verschieden; der Exponent $3$ ist dagegen bei allen Anlagen gleich. Ein zweiter Hersteller gibt für seine Anlage an, dass sie bei $v=10$ genau $2000\ \mathrm{kW}$ liefert.

Berechne die Leistung der ersten Anlage für $v=6$, $v=9$ und $v=12$.
Zeige dass eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit die Leistung verachtfacht, und zwar unabhängig vom Vorfaktor $a$.
Bestimme den Vorfaktor der zweiten Anlage aus der Herstellerangabe und gib an, wie ihr Graph gegenüber dem der ersten Anlage verläuft.
Ermittle die Windgeschwindigkeit, bei der die erste Anlage eine Leistung von $1200\ \mathrm{kW}$ erreicht.

Hinweis zu Aufgabe a)

Rechne zuerst $v\cdot v\cdot v$ aus und multipliziere das Ergebnis anschließend mit $1{,}2$.Zum Operator „Berechne“ gehört das Ergebnis mit Einheit — hier Kilowatt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$P(6)=1{,}2\cdot 6^{3}=1{,}2\cdot 216=259{,}2$, also $259{,}2\ \mathrm{kW}$.

$P(9)=1{,}2\cdot 9^{3}=1{,}2\cdot 729=874{,}8$, also $874{,}8\ \mathrm{kW}$.

$P(12)=1{,}2\cdot 12^{3}=1{,}2\cdot 1728=2073{,}6$, also $2073{,}6\ \mathrm{kW}$ und damit rund $2{,}07\ \mathrm{MW}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze in $P(v)=a\cdot v^{3}$ statt $v$ den Ausdruck $2v$ ein und wende das Potenzgesetz $(2v)^{3}=2^{3}\cdot v^{3}$ an.„Zeige“ verlangt eine Bestätigung durch Rechnung — hier allgemein mit $a$, nicht nur an einem Beispiel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Allgemein gilt $$P(2v)=a\cdot (2v)^{3}=a\cdot 2^{3}\cdot v^{3}=8\cdot a\cdot v^{3}=8\cdot P(v).$$ Der Vorfaktor $a$ steht auf beiden Seiten als gemeinsamer Faktor und fällt beim Vergleich heraus. Die Verachtfachung hängt allein am Exponenten $3$, nicht am Vorfaktor.

Probe mit den Werten aus a): $8\cdot P(6)=8\cdot 259{,}2=2073{,}6=P(12)$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze $v=10$ und $P=2000$ in den Ansatz $P(v)=a\cdot v^{3}$ ein und löse nach $a$ auf.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und die Formulierung des Ergebnisses.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $2000=a\cdot 10^{3}=a\cdot 1000$. Division durch $1000$ liefert $a=2$. Die zweite Anlage wird also durch $P_{2}(v)=2\cdot v^{3}$ beschrieben.

Wegen $2>1{,}2$ liegt jeder Funktionswert der zweiten Anlage über dem der ersten: Ihr Graph ist gegenüber dem der ersten Anlage in $y$-Richtung um den Faktor $\frac{2}{1{,}2}=\frac{5}{3}\approx 1{,}67$ gestreckt, verläuft also steiler. Beide Vorfaktoren sind positiv, gespiegelt wird nichts; die Grundgestalt der Kurve dritten Grades bleibt in beiden Fällen erhalten.

Hinweis zu Aufgabe d)

Setze $P(v)=1200$ und löse die Gleichung $1{,}2\cdot v^{3}=1200$ auf: erst durch $1{,}2$ teilen, dann die dritte Wurzel ziehen.„Ermittle“ verlangt Rechnung und Ergebnis, hier mit der Einheit Meter pro Sekunde.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

$$1{,}2\cdot v^{3}=1200\quad\Longleftrightarrow\quad v^{3}=1000\quad\Longleftrightarrow\quad v=\sqrt[3]{1000}=10$$ Die erste Anlage erreicht $1200\ \mathrm{kW}$ bei einer Windgeschwindigkeit von $10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Deutung: Bei genau dieser Windgeschwindigkeit liefert die zweite Anlage $2000\ \mathrm{kW}$ — der um den Faktor $\frac{5}{3}$ größere Vorfaktor schlägt sich direkt im Leistungsverhältnis $\frac{2000}{1200}=\frac{5}{3}$ nieder.

Parabelförmiger Brückenbogen

AFB II

Eine Fußgängerbrücke wird von einem parabelförmigen Stahlbogen getragen. Legt man den Ursprung des Koordinatensystems in das linke Auflager, so beschreibt $$h(x)=-0{,}02\cdot (x-25)^{2}+12{,}5$$ die Höhe des Bogens über der Fahrbahn. Dabei ist $x$ der waagerechte Abstand vom linken Auflager; beide Größen werden in Metern gemessen.

Berechne die Höhe des Bogens an den Stellen $x=10$ und $x=40$.
Bestimme die Werte von $n$, $a$, $d$ und $e$ in der allgemeinen Form $f(x)=a\cdot (x+d)^{n}+e$ und beschreibe, wie der Bogen aus der Normalparabel $y=x^{2}$ hervorgeht.
Weise nach dass der Bogen an beiden Auflagern die Höhe $0$ hat, und gib die Spannweite der Brücke an.
Ermittle die beiden Stellen, an denen der Bogen genau $10\ \mathrm{m}$ hoch ist. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Hinweis zu Aufgabe a)

Rechne streng in dieser Reihenfolge: erst die Klammer, dann das Quadrat, dann den Vorfaktor, zuletzt den Summanden $12{,}5$.„Berechne“ verlangt den nachvollziehbaren Rechenweg samt Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$h(10)=-0{,}02\cdot (10-25)^{2}+12{,}5=-0{,}02\cdot (-15)^{2}+12{,}5=-0{,}02\cdot 225+12{,}5=-4{,}5+12{,}5=8$, also $8\ \mathrm{m}$.

$h(40)=-0{,}02\cdot (40-25)^{2}+12{,}5=-0{,}02\cdot 15^{2}+12{,}5=-4{,}5+12{,}5=8$, also ebenfalls $8\ \mathrm{m}$.

Beide Stellen liegen $15\ \mathrm{m}$ von $x=25$ entfernt. Weil das Quadrat das Vorzeichen tilgt, ist der Bogen symmetrisch zur Geraden $x=25$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Schreibe die Klammer $(x-25)$ zuerst als $(x+d)$ um, damit du das Vorzeichen von $d$ sicher abliest. Beachte, dass $d$ genau entgegen seinem Vorzeichen verschiebt.„Bestimme“ verlangt hier neben den vier Zahlen auch die Zuordnung zu Streckung, Stauchung, Spiegelung und Verschiebung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es ist $n=2$, $a=-0{,}02$, $(x-25)=(x+(-25))$ und damit $d=-25$, sowie $e=12{,}5$.

Wirkung Schritt für Schritt: Wegen $0<|a|=0{,}02<1$ wird die Normalparabel zunächst stark gestaucht. Wegen $a<0$ wird sie zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt, ist also nach unten geöffnet. Wegen $d=-25<0$ wird der Graph um $25$ nach rechts verschoben, wegen $e=12{,}5>0$ um $12{,}5$ nach oben.

Der Scheitel liegt daher bei $S(25\,|\,12{,}5)$: Der Bogen ist in der Mitte der Brücke $12{,}5\ \mathrm{m}$ hoch, und das ist zugleich sein höchster Punkt.

Hinweis zu Aufgabe c)

Das linke Auflager liegt bei $x=0$. Nutze die Symmetrie zur Geraden $x=25$, um die Stelle des rechten Auflagers zu finden, und setze beide Werte ein.„Weise nach“ verlangt die Bestätigung durch Rechnung, nicht das bloße Ablesen aus einer Skizze.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

$h(0)=-0{,}02\cdot (0-25)^{2}+12{,}5=-0{,}02\cdot 625+12{,}5=-12{,}5+12{,}5=0$.

$h(50)=-0{,}02\cdot (50-25)^{2}+12{,}5=-0{,}02\cdot 625+12{,}5=0$.

Der Bogen setzt also bei $x=0$ und bei $x=50$ auf der Fahrbahn auf. Die Spannweite beträgt $50\ \mathrm{m}$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Setze $h(x)=10$ und löse nach der Klammer auf. Beim Ziehen der Wurzel entstehen zwei Lösungen — eine links und eine rechts vom Scheitel.„Ermittle“ verlangt Lösungsweg und Ergebnis; beide Lösungen müssen genannt werden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Ansatz: $$-0{,}02\cdot (x-25)^{2}+12{,}5=10$$ Subtraktion von $12{,}5$ ergibt $-0{,}02\cdot (x-25)^{2}=-2{,}5$, Division durch $-0{,}02$ ergibt $(x-25)^{2}=125$.

Wurzelziehen liefert $x-25=\pm\sqrt{125}\approx\pm 11{,}18$, also $$x_{1}\approx 25-11{,}18=13{,}82\qquad x_{2}\approx 25+11{,}18=36{,}18.$$

Der Bogen ist rund $13{,}82\ \mathrm{m}$ und rund $36{,}18\ \mathrm{m}$ nach dem linken Auflager genau $10\ \mathrm{m}$ hoch. Beide Werte liegen zwischen $0$ und $50$ und sind damit im Sachkontext sinnvoll.

Beleuchtungsstärke am Arbeitsplatz

AFB II

Für eine punktförmige Lichtquelle nimmt die Beleuchtungsstärke $E$ mit dem Abstand $r$ ab. Für eine Werkstattlampe gilt $$E(r)=2000\cdot r^{-2}\qquad\text{mit}\quad [E]=\mathrm{lx}\ \text{und}\ [r]=\mathrm{m}.$$ Der Vorfaktor $2000$ ist die Lichtstärke der Lampe in Candela und hängt allein vom Leuchtmittel ab; der Exponent $-2$ ist bei jeder punktförmigen Lichtquelle derselbe. Für feine Montagearbeiten sind mindestens $500\ \mathrm{lx}$ vorgeschrieben.

Berechne die Beleuchtungsstärke in den Abständen $r=1$, $r=2$ und $r=4$.
Erkläre welche Wirkung der Vorfaktor $2000$ auf den Graphen der Funktion $y=x^{-2}$ hat und warum die Grundgestalt dabei erhalten bleibt.
Bestimme den Abstand, in dem die Lampe genau $80\ \mathrm{lx}$ erzeugt.
Begründe warum auch eine sehr viel hellere Lampe nichts daran ändert, dass die Beleuchtungsstärke mit wachsendem Abstand gegen null geht.

Hinweis zu Aufgabe a)

Es gilt $r^{-2}=\frac{1}{r^{2}}$. Quadriere also zuerst den Abstand und teile $2000$ anschließend durch dieses Quadrat.„Berechne“ verlangt Rechnung und Ergebnis mit Einheit — hier Lux.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$E(1)=2000\cdot 1^{-2}=\frac{2000}{1}=2000$, also $2000\ \mathrm{lx}$.

$E(2)=2000\cdot 2^{-2}=\frac{2000}{4}=500$, also $500\ \mathrm{lx}$.

$E(4)=2000\cdot 4^{-2}=\frac{2000}{16}=125$, also $125\ \mathrm{lx}$.

In $2\ \mathrm{m}$ Abstand ist die Vorschrift von $500\ \mathrm{lx}$ also gerade noch erfüllt, in $4\ \mathrm{m}$ Abstand deutlich nicht mehr.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche den Vorfaktor mit $1$ und achte auf sein Vorzeichen. Überlege danach, ob der Vorfaktor überhaupt am Exponenten etwas ändert.„Erkläre“ verlangt, die Beobachtung auf die Regel für den Vorfaktor zurückzuführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Wegen $2000>1$ wird der Graph von $y=x^{-2}$ in $y$-Richtung um den Faktor $2000$ gestreckt: Jeder Funktionswert wird mit $2000$ multipliziert. Da $2000>0$ ist, findet keine Spiegelung an der $x$-Achse statt; alle Werte bleiben positiv.

Die Grundgestalt — eine Hyperbel, deren beide Äste oberhalb der $x$-Achse liegen — wird allein vom Exponenten $-2$ festgelegt. Der Vorfaktor lässt den Exponenten unberührt und verändert deshalb nur die Steilheit, nicht die Form.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze $E(r)=80$ und schreibe $r^{-2}$ als Bruch. Multipliziere danach mit $r^{2}$ und löse nach $r$ auf.„Bestimme“ verlangt den dargestellten Lösungsweg; im Sachkontext ist nur die positive Lösung brauchbar.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

$$2000\cdot r^{-2}=80\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2000}{r^{2}}=80\quad\Longleftrightarrow\quad r^{2}=\frac{2000}{80}=25$$ Daraus folgt $r=\pm 5$. Ein Abstand ist nie negativ, also ist $r=5\ \mathrm{m}$ die gesuchte Lösung.

Probe: $2000\cdot 5^{-2}=\frac{2000}{25}=80$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Überlege, welcher der Parameter $a$, $d$ und $e$ die waagerechte Asymptote verschieben könnte — und welcher gerade nicht.„Begründe“ heißt: Aussage nennen und auf die Wirkung des Vorfaktors zurückführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Eine hellere Lampe bedeutet einen größeren Vorfaktor $a$, also eine stärkere Streckung in $y$-Richtung. Der Funktionswert $a\cdot\frac{1}{r^{2}}$ entsteht aber weiterhin dadurch, dass $\frac{1}{r^{2}}$ mit einer festen Zahl multipliziert wird. Weil $\frac{1}{r^{2}}$ für wachsendes $r$ beliebig klein wird, wird auch das Produkt beliebig klein — egal wie groß $a$ ist.

Die $x$-Achse bleibt daher waagerechte Asymptote. Verschieben ließe sie sich nur durch den Parameter $e$, denn allein $e$ hebt oder senkt den ganzen Graphen. Ein größeres $a$ sorgt lediglich dafür, dass die geforderten $500\ \mathrm{lx}$ noch in größerem Abstand erreicht werden.

Grundumsatz von Tieren

AFB III

Der Grundumsatz $U$ eines Tieres — die Energie, die es im Ruhezustand pro Tag benötigt — wächst nicht proportional zur Körpermasse $m$. Die Biologie beschreibt ihn mit der Potenzfunktion $$U(m)=a\cdot m^{0{,}75}\qquad\text{mit}\quad [U]=\mathrm{kcal/Tag}\ \text{und}\ [m]=\mathrm{kg}.$$ Für einen Hund mit $16\ \mathrm{kg}$ wurde ein Grundumsatz von $560\ \mathrm{kcal/Tag}$ gemessen. Ein Landwirt hält das einfachere proportionale Modell $V(m)=b\cdot m$ für ausreichend, das durch denselben Messwert gehen soll.

Bestimme die Vorfaktoren $a$ und $b$ beider Modelle aus dem Messwert des Hundes.
Berechne mit beiden Modellen den Grundumsatz eines Kleinpferds mit $256\ \mathrm{kg}$ und eines Rindes mit $625\ \mathrm{kg}$.
Vergleiche die Ergebnisse beider Modelle und stelle dar, wie sich der Unterschied mit wachsender Masse entwickelt.
Beurteile welches der beiden Modelle den gemessenen Grundumsatz eines Rindes von rund $8800\ \mathrm{kcal/Tag}$ besser beschreibt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze $m=16$ und den gemessenen Wert in beide Ansätze ein. Für $16^{0{,}75}$ hilft $16=2^{4}$ und das Potenzgesetz $(2^{4})^{0{,}75}=2^{4\cdot 0{,}75}$.„Bestimme“ verlangt hier das Aufstellen beider Funktionsgleichungen mit sichtbarem Rechenweg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für das Potenzmodell gilt $16^{0{,}75}=(2^{4})^{0{,}75}=2^{3}=8$. Aus $560=a\cdot 8$ folgt $$a=\frac{560}{8}=70\qquad\text{und damit}\qquad U(m)=70\cdot m^{0{,}75}.$$

Für das proportionale Modell gilt $560=b\cdot 16$, also $$b=\frac{560}{16}=35\qquad\text{und damit}\qquad V(m)=35\cdot m.$$

Beide Vorfaktoren sind positiv und größer als $1$; beide Graphen sind gegenüber $y=m^{0{,}75}$ beziehungsweise $y=m$ gestreckt und nicht gespiegelt. An der Stelle $m=16$ liefern die Modelle den gleichen Wert — dort wurden sie ja aneinander angepasst.

Hinweis zu Aufgabe b)

Nutze $256=4^{4}$ und $625=5^{4}$; dann lässt sich $m^{0{,}75}$ ohne Taschenrechner ausrechnen.„Berechne“ verlangt alle vier Werte mit Einheit, geordnet nach Modell.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Potenzmodell: $256^{0{,}75}=(4^{4})^{0{,}75}=4^{3}=64$, also $U(256)=70\cdot 64=4480\ \mathrm{kcal/Tag}$. Weiter ist $625^{0{,}75}=(5^{4})^{0{,}75}=5^{3}=125$, also $U(625)=70\cdot 125=8750\ \mathrm{kcal/Tag}$.

Proportionales Modell: $V(256)=35\cdot 256=8960\ \mathrm{kcal/Tag}$ und $V(625)=35\cdot 625=21\,875\ \mathrm{kcal/Tag}$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Bilde für jede Masse den Quotienten aus dem Wert des proportionalen Modells und dem des Potenzmodells. Beziehe die Stelle $m=16$ mit ein.„Vergleiche“ verlangt Gemeinsamkeiten und Unterschiede nach einem klaren Kriterium — hier das Verhältnis der Werte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gemeinsamkeit: Bei $m=16$ stimmen beide Modelle mit $560\ \mathrm{kcal/Tag}$ überein, weil beide Vorfaktoren an genau diesen Messwert angepasst wurden.

Unterschied: $\frac{V(256)}{U(256)}=\frac{8960}{4480}=2$ und $\frac{V(625)}{U(625)}=\frac{21\,875}{8750}=2{,}5$. Die absoluten Abweichungen wachsen von $0$ über $8960-4480=4480$ auf $21\,875-8750=13\,125\ \mathrm{kcal/Tag}$.

Allgemein gilt $\frac{V(m)}{U(m)}=\frac{35\,m}{70\,m^{0{,}75}}=0{,}5\cdot m^{0{,}25}$. Der Quotient wächst also unbegrenzt. Ursache ist der Exponent, nicht der Vorfaktor: Wegen $0{,}75<1$ hat das Potenzmodell eine andere Grundgestalt, und ein Vorfaktor kann einen Graphen nur strecken, stauchen oder spiegeln — die Gestalt ändert er nie.

Hinweis zu Aufgabe d)

Stelle beiden Rechenwerten aus b) den Messwert gegenüber und drücke die Abweichung zusätzlich in Prozent des Messwerts aus. Formuliere am Ende ein klares Urteil.„Beurteile“ verlangt ein selbstständiges, mit Zahlen belegtes Urteil samt Aussage über die Grenzen des Modells.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Potenzmodell: $U(625)=8750\ \mathrm{kcal/Tag}$, Abweichung $8750-8800=-50\ \mathrm{kcal/Tag}$, also $\frac{50}{8800}\approx 0{,}6\ \%$ zu wenig.

Proportionales Modell: $V(625)=21\,875\ \mathrm{kcal/Tag}$, Abweichung $21\,875-8800=13\,075\ \mathrm{kcal/Tag}$, also rund $149\ \%$ zu viel — fast das Zweieinhalbfache des tatsächlichen Werts.

Urteil: Das Modell $U(m)=70\cdot m^{0{,}75}$ beschreibt den Messwert deutlich besser. Der Landwirt hat sich täuschen lassen, weil sein Modell beim Hund exakt passt: Ein an einem einzigen Punkt angepasster Vorfaktor sagt nichts darüber aus, ob der Exponent stimmt. Ein anderer Vorfaktor $b$ könnte das proportionale Modell zwar beim Rind treffen, dann läge es aber beim Hund falsch.

Einschränkung: Auch das Potenzmodell ist eine Näherung. Es gilt für den Ruhezustand ausgewachsener Tiere; Aktivität, Umgebungstemperatur und Tierart bleiben unberücksichtigt, und für sehr kleine oder sehr große Massen wird die Abweichung wieder größer.

TextaufgabenEinfluss des Vorfaktors a auf Potenzfunktionen

Bremsweg auf nasser Fahrbahn

Leistung einer Windkraftanlage

Parabelförmiger Brückenbogen

Beleuchtungsstärke am Arbeitsplatz

Grundumsatz von Tieren