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TextaufgabenPunkte berechnen

Fünf Sachaufgaben aus Verkehr, Technik und Physik. Du prüfst Behauptungen mit einer Punktprobe, berechnest Werte und suchst zu einem vorgegebenen Ergebnis die passende Stelle — samt der Frage, ob beide Lösungen sinnvoll sind.

1

Bremsweg nach der Faustformel

AFB I

In der Fahrschule wird der Bremsweg eines Autos mit einer Faustformel abgeschätzt. Dazu teilt man die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde durch zehn und bezeichnet das Ergebnis mit \(x\). Für den Bremsweg gilt dann $$s(x)=x^{2}\qquad\text{mit}\quad [s]=\mathrm{m}.$$ Bei \(60\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) ist also \(x=6\) einzusetzen.

  1. Berechne den Bremsweg für die Geschwindigkeiten \(30\), \(50\) und \(100\) Kilometer pro Stunde.
  2. Überprüfe die Behauptung, dass der Bremsweg bei \(80\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) genau \(60\) Meter beträgt.
  3. Bestimme die Geschwindigkeit, bei der die Faustformel einen Bremsweg von \(49\) Metern liefert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne die Geschwindigkeit zuerst in den Wert von \(x\) um: aus \(30\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) wird \(x=3\). Setze diese Zahl dann in \(s(x)=x^{2}\) ein.Beim Operator „Berechne“ genügt der Rechenweg mit Ergebnis und Einheit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für \(30\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) ist \(x=3\): \(s(3)=3^{2}=9\), also \(9\ \mathrm{m}\). Für \(50\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) ist \(x=5\): \(s(5)=5^{2}=25\), also \(25\ \mathrm{m}\). Für \(100\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) ist \(x=10\): \(s(10)=10^{2}=100\), also \(100\ \mathrm{m}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Behauptung nennt beide Koordinaten eines Punktes: die Stelle \(x=8\) und den Wert \(60\). Das ist eine Punktprobe — einsetzen, ausrechnen, vergleichen.„Überprüfe“ verlangt eine Rechnung und ein begründetes Urteil am Ende.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zu \(80\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) gehört \(x=8\). Einsetzen ergibt \(s(8)=8^{2}=64\). Der Vergleich mit der behaupteten zweiten Koordinate liefert \(60=64\) — eine falsche Aussage. Die Behauptung stimmt also nicht; nach der Faustformel sind es \(64\) Meter.

Hinweis zu Aufgabe c)
Hier ist der Wert vorgegeben und die Stelle gesucht. Stelle die Gleichung \(x^{2}=49\) auf und achte beim Wurzelziehen auf den geraden Exponenten. Danach musst du \(x\) noch in eine Geschwindigkeit zurückrechnen.„Bestimme“ heißt: Rechenweg zeigen und das Ergebnis im Sachzusammenhang angeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gesucht ist die Stelle zum Wert \(49\), also \(x^{2}=49\) und damit \(x=\pm 7\). Eine Geschwindigkeit ist nicht negativ, deshalb kommt nur \(x=7\) infrage. Zurückgerechnet ergibt das \(70\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\).

2

Maßstab beim 3D-Druck

AFB II

Eine Druckdatei lässt sich vor dem Ausdruck skalieren: Alle Kantenlängen des Modells werden mit demselben Faktor \(x\) multipliziert. Das benötigte Kunststoffvolumen wächst dabei nicht mit \(x\), sondern mit der dritten Potenz. Gibt man das Volumen als Vielfaches des ursprünglichen Volumens an, so gilt $$V(x)=x^{3}.$$ Der Wert \(V(x)=1\) bedeutet also „genauso viel Kunststoff wie beim Originalmodell“.

  1. Berechne das Volumen für die Maßstabsfaktoren \(x=2\), \(x=2{,}5\) und \(x=3\).
  2. Weise nach dass der Punkt \(P(1{,}5\,|\,3{,}375)\) auf dem Graphen von \(V\) liegt, und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
  3. Bestimme den Maßstabsfaktor, bei dem das \(64\)-fache Volumen benötigt wird, und begründe, warum es dazu nur einen einzigen Faktor gibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(x^{3}\) bedeutet \(x\cdot x\cdot x\). Bei \(x=2{,}5\) rechnest du also \(2{,}5\cdot 2{,}5\cdot 2{,}5\) — am besten schrittweise.Beim Operator „Berechne“ genügt der Rechenweg mit Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(V(2)=2^{3}=8\). \(V(2{,}5)=2{,}5^{3}=15{,}625\). \(V(3)=3^{3}=27\). Bei doppelter Kantenlänge braucht man also bereits das Achtfache an Material.

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze die erste Koordinate \(1{,}5\) ein und vergleiche das Ergebnis mit der zweiten Koordinate \(3{,}375\). Für die Deutung überlege, was ein Faktor von \(1{,}5\) für den Materialverbrauch bedeutet.„Weise nach“ verlangt eine vollständige Rechnung, die mit einer Aussage endet — hier mit der Punktprobe.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Punktprobe: \(V(1{,}5)=1{,}5^{3}=1{,}5\cdot 1{,}5\cdot 1{,}5=3{,}375\). Der Vergleich mit der zweiten Koordinate ergibt \(3{,}375=3{,}375\) — eine wahre Aussage, also liegt \(P\) auf dem Graphen. Im Sachzusammenhang: Vergrößert man das Modell um die Hälfte, steigt der Materialbedarf auf das \(3{,}375\)-fache, also auf mehr als das Dreifache.

Hinweis zu Aufgabe c)
Stelle die Gleichung \(x^{3}=64\) auf. Für die Begründung schau auf den Exponenten: Ist er gerade oder ungerade? Davon hängt die Anzahl der Lösungen ab.„Begründe“ heißt: Aussage nennen und Ursache angeben — hier die Parität des Exponenten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gesucht ist die Stelle zum Wert \(64\): \(x^{3}=64\), also \(x=\sqrt[3]{64}=4\). Der Maßstabsfaktor beträgt \(4\), alle Kantenlängen werden vervierfacht. Der Exponent \(3\) ist ungerade; der Graph von \(V\) steigt durchgehend an und wird von jeder Waagerechten nur einmal geschnitten. Deshalb gibt es genau eine Lösung — anders als bei einem geraden Exponenten, wo eine zweite, negative Lösung hinzukäme.

3

Spielfeld mit doppeltem Raster

AFB II

Für ein Brettspiel wird ein quadratisches Spielfeld in \(x\) Reihen und \(x\) Spalten unterteilt. Jedes der so entstandenen Felder wird anschließend noch einmal nach demselben Muster in \(x\) Reihen und \(x\) Spalten zerlegt. Für die Gesamtzahl der kleinsten Kacheln gilt dann $$N(x)=x^{4}.$$ Dabei ist \(x\) eine natürliche Zahl.

  1. Berechne die Anzahl der Kacheln für \(x=3\) und \(x=5\).
  2. Überprüfe die Behauptung, dass bei einer Unterteilung mit \(x=6\) genau \(1296\) Kacheln entstehen.
  3. Bestimme alle Lösungen der Gleichung \(N(x)=2401\) und entscheide, welche davon zum Spielfeld passt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne \(x^{4}\) in zwei Schritten: erst \(x^{2}\), dann dieses Ergebnis noch einmal mit sich selbst multiplizieren. Für \(x=3\) also \(9\cdot 9\).Beim Operator „Berechne“ genügt der Rechenweg mit Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(N(3)=3^{4}=9\cdot 9=81\) Kacheln. \(N(5)=5^{4}=25\cdot 25=625\) Kacheln.

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Behauptung beschreibt den Punkt \(P(6\,|\,1296)\). Setze die erste Koordinate ein und vergleiche mit der zweiten.„Überprüfe“ verlangt eine Rechnung und ein begründetes Urteil am Ende.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Punktprobe für \(P(6\,|\,1296)\): \(N(6)=6^{4}=36\cdot 36=1296\). Der Vergleich ergibt \(1296=1296\) — eine wahre Aussage. Die Behauptung stimmt also.

Hinweis zu Aufgabe c)
Der Exponent \(4\) ist gerade — die Gleichung \(x^{4}=2401\) hat deshalb zwei Lösungen. Suche zuerst die positive: Welche Zahl ergibt hoch vier \(2401\)? Probiere \(7^{2}=49\) und dann \(49^{2}\).„Entscheide“ verlangt eine klare Auswahl mit Begründung aus dem Sachzusammenhang.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aus \(N(x)=2401\) folgt die Gleichung \(x^{4}=2401\). Weil der Exponent gerade ist, gehört ein Plus-Minus vor die Wurzel: \(x=\pm\sqrt[4]{2401}=\pm 7\). Die Unterteilung eines Spielfelds lässt sich nicht mit einer negativen Anzahl von Reihen durchführen, deshalb kommt nur \(x=7\) infrage. Das Spielfeld wird also in \(7\) Reihen und \(7\) Spalten geteilt und jedes Feld noch einmal ebenso.

4

Quadratische Sonnensegel

AFB II

Ein Hersteller bietet quadratische Sonnensegel in verschiedenen Größen an. Die Kantenlänge wird mit \(x\) bezeichnet und in Metern angegeben. Für den Flächeninhalt eines Segels gilt $$A(x)=x^{2}\qquad\text{mit}\quad [A]=\mathrm{m}^{2}.$$ Im Katalog steht zu jedem Segel die Kantenlänge und der gerundete Flächeninhalt.

  1. Berechne den Flächeninhalt für die Kantenlängen \(2{,}5\) Meter und \(4\) Meter.
  2. Überprüfe den Katalogeintrag „Kantenlänge \(3{,}5\) Meter, Fläche \(12\) Quadratmeter“ mit einer Punktprobe und erkläre, wie die Abweichung zustande kommt.
  3. Bestimme alle Lösungen der Gleichung \(A(x)=20{,}25\) und gib an, welche Kantenlänge der Hersteller angeben würde.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(2{,}5^{2}\) bedeutet \(2{,}5\cdot 2{,}5\). Rechne mit dem Dezimalkomma und gib die Einheit \(\mathrm{m}^{2}\) mit an.Beim Operator „Berechne“ genügt der Rechenweg mit Ergebnis und Einheit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(A(2{,}5)=2{,}5^{2}=6{,}25\), also \(6{,}25\ \mathrm{m}^{2}\). \(A(4)=4^{2}=16\), also \(16\ \mathrm{m}^{2}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Katalogeintrag beschreibt den Punkt \(P(3{,}5\,|\,12)\). Rechne \(A(3{,}5)\) genau aus und vergleiche. Überlege danach, warum ein Katalog selten mit drei Nachkommastellen arbeitet.„Erkläre“ verlangt einen Zusammenhang in eigenen Worten, nicht nur eine Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Punktprobe für \(P(3{,}5\,|\,12)\): \(A(3{,}5)=3{,}5^{2}=12{,}25\). Der Vergleich ergibt \(12=12{,}25\) — eine falsche Aussage, der Punkt liegt also nicht auf dem Graphen. Genauer liegt er sogar \(0{,}25\ \mathrm{m}^{2}\) unterhalb des Graphen. Die Abweichung entsteht durch Runden: Der Hersteller gibt die Fläche im Katalog offenbar auf ganze Quadratmeter gerundet an. Mathematisch bleibt die Punktprobe damit trotzdem negativ.

Hinweis zu Aufgabe c)
Der Exponent \(2\) ist gerade, deshalb hat \(x^{2}=20{,}25\) zwei Lösungen. Notiere beide und entscheide erst danach, welche im Sachzusammenhang sinnvoll ist.„Gib an“ verlangt nur die Angabe des Ergebnisses — dafür aber vollständig und mit Einheit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aus \(A(x)=20{,}25\) folgt \(x^{2}=20{,}25\). Der Exponent ist gerade, also \(x=\pm\sqrt{20{,}25}=\pm 4{,}5\). Eine Kantenlänge ist niemals negativ, deshalb verwirft man \(x=-4{,}5\). Der Hersteller würde eine Kantenlänge von \(4{,}5\) Metern angeben.

5

Messreihe im Physikpraktikum

AFB III

In einem Praktikum wird eine Messgröße untersucht, die von einer Einstellung \(x\) abhängt. Die Auswertung ergibt, dass sich die Messwerte gut durch eine Potenzfunktion der Form \(f(x)=x^{n}\) mit einer natürlichen Zahl \(n\) beschreiben lassen. Bekannt ist bisher nur ein einziger Messpunkt: \(P(2\,|\,32)\).

  1. Bestimme den Exponenten \(n\) aus dem Messpunkt \(P\).
  2. Überprüfe mit dem gefundenen Exponenten, ob die weiteren Messpunkte \(Q(3\,|\,243)\) und \(R(4\,|\,1000)\) zur Funktion passen.
  3. Bestimme die Einstellung, bei der die Messgröße den Wert \(1024\) annimmt.
  4. Erkläre warum es in Teilaufgabe 3 nur eine Lösung gibt, während die entsprechende Gleichung bei \(g(x)=x^{4}\) zwei Lösungen hätte.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze die Koordinaten von \(P\) in \(f(x)=x^{n}\) ein. Es entsteht \(2^{n}=32\). Zähle nun, wie oft du die \(2\) mit sich selbst multiplizieren musst, um \(32\) zu erhalten.„Bestimme“ heißt: Rechenweg zeigen und das Ergebnis angeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Einsetzen der Koordinaten von \(P\) ergibt \(2^{n}=32\). Wegen \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32\) ist \(n=5\), die Funktion lautet also \(f(x)=x^{5}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Führe für jeden der beiden Punkte eine eigene Punktprobe durch. Einer der beiden Punkte besteht sie nicht — schreib dann dazu, welcher Wert stattdessen herauskäme.„Überprüfe“ verlangt zu jedem Punkt eine Rechnung und ein Urteil.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für \(Q(3\,|\,243)\): \(f(3)=3^{5}=243\), der Vergleich \(243=243\) ist eine wahre Aussage — \(Q\) passt zur Funktion. Für \(R(4\,|\,1000)\): \(f(4)=4^{5}=1024\), der Vergleich \(1000=1024\) ist falsch. \(R\) liegt nicht auf dem Graphen, sondern \(24\) Einheiten darunter.

Hinweis zu Aufgabe c)
In Teilaufgabe 3 ist der Wert gegeben und die Stelle gesucht — es entsteht also eine Gleichung. Für Teilaufgabe 4 denk an die Form der beiden Graphen: Wie oft kann eine Waagerechte sie jeweils schneiden?„Erkläre“ verlangt einen begründeten Zusammenhang, hier über die Parität des Exponenten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gesucht ist die Stelle zum Wert \(1024\), also \(x^{5}=1024\). Wurzelziehen ergibt \(x=\sqrt[5]{1024}=4\). Die Einstellung beträgt also \(4\); das passt zur Rechnung aus Teilaufgabe 2.

Hinweis zu Aufgabe d)
Skizziere beide Graphen grob und ziehe eine Waagerechte auf der geforderten Höhe. Zähle, wie oft sie den jeweiligen Graphen trifft.„Erkläre“ verlangt den Bezug auf die Gesetzmäßigkeit — hier auf den Unterschied zwischen geradem und ungeradem Exponenten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Exponent \(5\) ist ungerade. Der Graph von \(f(x)=x^{5}\) verläuft von links unten nach rechts oben und steigt dabei durchgehend an; jede Waagerechte schneidet ihn deshalb genau einmal. Bei \(g(x)=x^{4}\) ist der Exponent gerade. Weil \((-a)^{4}=a^{4}\) gilt, ist der Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse und liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Eine Waagerechte in positiver Höhe trifft ihn deshalb zweimal, einmal links und einmal rechts der \(y\)-Achse — die Gleichung hat dort zwei Lösungen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden.