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Interaktive ÜbungDie Funktion f(x) = a · log₂(x + b) + c

Zwanzig Aufgaben zu Streckung, Verschiebung, Definitionsbereich, Nullstelle und der wandernden senkrechten Asymptote.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie Parameter a, b und c: Streckung, Verschiebung und die Lage der senkrechten Asymptote.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Parameter-Labor. Es geht um die Wirkung von \(a\), \(b\) und \(c\), um Funktionswerte und Nullstellen, um den Definitionsbereich und immer wieder um die Frage, wohin die senkrechte Asymptote wandert. Mehrere Aufgaben verlangen den Weg rückwärts: vom Graphen zur Funktionsgleichung.

1Die Zielkurve einstellenAFB II

Die gestrichelte Kurve gehört zu einer Funktion \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c\). Ihre senkrechte Asymptote ist grün gestrichelt eingezeichnet; sie verläuft durch \((-2\,|\,-1)\) und \((-1\,|\,1)\).

Stellen Sie \(a\), \(b\) und \(c\) so ein, dass beide Kurven übereinanderliegen.

Die Regler lassen sich mit der Maus ziehen oder nach Tab mit den Pfeiltasten verstellen. Geh der Reihe nach vor: erst \(b\) (die Asymptote), dann \(c\), dann \(a\).
Die Asymptote liegt bei \(x=-3\), also \(-b=-3\) und \(b=3\). Der Punkt \((-2\,|\,-1)\) liefert \(a\cdot\log_{2}(1)+c=c=-1\). Aus \((-1\,|\,1)\) folgt \(a\cdot\log_{2}(2)-1=1\), also \(a=2\). Die Funktion lautet \(f(x)=2\cdot\log_{2}(x+3)-1\).
2Wo liegt die senkrechte Asymptote?AFB I

Die Asymptote liegt dort, wo das Argument des Logarithmus null wird.

Bestimmen Sie für jede Funktion die Stelle \(x\).

Trage jeweils nur die Zahl ein. Enter prüft.
Funktion\(\log_{2}(x+5)\)\(\log_{2}(x-2)+3\)\(4\cdot\log_{2}(x+1)-2\)\(-\log_{2}(x-0{,}5)\)
Asymptote \(x=\)
Setze das Argument gleich null: \(x+5=0\Rightarrow x=-5\); \(x-2=0\Rightarrow x=2\); \(x+1=0\Rightarrow x=-1\); \(x-0{,}5=0\Rightarrow x=0{,}5\). Die Zahlen vor und hinter dem Logarithmus (\(4\), \(-2\), \(3\), das Minuszeichen) spielen dabei überhaupt keine Rolle.
3Einen Funktionswert berechnenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=3\cdot\log_{2}(x+1)-4\).

Berechnen Sie \(f(7)\).

Rechne von innen nach außen: erst die Klammer, dann den Logarithmus, dann Mal und Minus. Enter prüft.
\(f(7)=3\cdot\log_{2}(7+1)-4=3\cdot\log_{2}(8)-4=3\cdot 3-4=5\). Wer zuerst \(3\cdot 7\) rechnet, verletzt die Reihenfolge: Der Faktor \(a\) gehört vor den fertigen Logarithmus, nicht in die Klammer.
4Von der Beschreibung zu den ParameternAFB II

Der Graph von \(\log_{2}(x)\) wird jeweils umgeformt. Bestimmen Sie \(a\), \(b\) und \(c\) in \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c\).

Ⅰ: um 4 nach links verschoben, in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt, dann um 2 nach unten verschoben.
Ⅱ: um 2 nach rechts verschoben, an der Waagerechten gespiegelt, dann um 5 nach oben verschoben.

Trage alle sechs Zahlen mit Vorzeichen ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.
Achtung bei \(b\): „nach links“ bedeutet ein positives \(b\), „nach rechts“ ein negatives. Also Ⅰ: \(f(x)=3\cdot\log_{2}(x+4)-2\) und Ⅱ: \(f(x)=-\log_{2}(x-2)+5\). Das Spiegeln an der Waagerechten steckt im Minuszeichen von \(a\).
5Welcher Wert ist größer?AFB II

Alle Logarithmen lassen sich ohne Taschenrechner ausrechnen.

Setzen Sie in jeder Zeile das richtige Zeichen.

Rechne jede Seite aus und klicke dann das passende Zeichen an. Mit der Tastatur: Tab zum Zeichen, ←/→ zum Wechseln.
\(f(0)\) für \(f(x)=\log_{2}(x+4)\)\(f(4)\) für dieselbe Funktion
\(g(2)\) für \(g(x)=2\log_{2}(x)-1\)\(g(8)\) für dieselbe Funktion
\(h(2)\) für \(h(x)=-\log_{2}(x)\)\(h(8)\) für dieselbe Funktion
\(f(1)\) für \(f(x)=\log_{2}(x+1)+3\)\(f(7)\) für dieselbe Funktion
Asymptote von \(\log_{2}(x+6)\)Asymptote von \(\log_{2}(x-6)\)
Nullstelle von \(\log_{2}(x-1)\)Nullstelle von \(\log_{2}(x+1)\)
Zeile 1: \(2<3\). Zeile 2: \(1<5\). Zeile 3: \(-1>-3\) — wegen \(a<0\) fällt der Graph. Zeile 4: \(4<6\). Zeile 5: \(-6<6\). Zeile 6: Aus \(x-1=1\) folgt \(x=2\), aus \(x+1=1\) folgt \(x=0\), also \(2>0\).
6Die Nullstelle berechnenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=2\cdot\log_{2}(x-3)-6\).

Berechnen Sie die Nullstelle.

Setze \(f(x)=0\), isoliere den Logarithmus und schreibe die Gleichung dann als Potenz. Enter prüft.
\(2\log_{2}(x-3)=6\Rightarrow\log_{2}(x-3)=3\Rightarrow x-3=2^{3}=8\Rightarrow x=11\). Probe: \(f(11)=2\cdot\log_{2}(8)-6=6-6=0\) ✓. Der Wert liegt im Definitionsbereich \(x>3\) — das muss man am Ende immer prüfen.
7Fehler in einer BeschreibungAFB II

Sieben Aussagen über verschobene und gestreckte Logarithmuskurven. Drei sind falsch.

Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die drei Häufigkeitsfallen: die Verschieberichtung bei \(b\), die Verwechslung von \(c\) mit einer Verschiebung der Asymptote und die Annahme, ein Streckfaktor würde die Nullstelle bewegen.
8Wertetabelle einer verschobenen KurveAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\log_{2}(x+4)-1\).

Berechnen Sie die fünf Funktionswerte.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Negative Zahlen mit Minuszeichen. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.
\(x\)\(-3\)\(-2\)\(0\)\(4\)\(12\)
\(f(x)\)
Erst die Klammer, dann der Logarithmus, dann \(-1\): \(\log_{2}(1)-1=-1\); \(\log_{2}(2)-1=0\); \(\log_{2}(4)-1=1\); \(\log_{2}(8)-1=2\); \(\log_{2}(16)-1=3\). Die Nullstelle liegt bei \(x=-2\), die Asymptote bei \(x=-4\). Die \(x\)-Werte wurden bewusst so gewählt, dass \(x+4\) immer eine Zweierpotenz ist.
9Aussagen zu den ParameternAFB II

Betrachtet wird \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c\).

Wählen Sie alle Aussagen aus, die stimmen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
Vier Aussagen stimmen. Die drei falschen betreffen genau die Punkte, an denen die Parameter gern verwechselt werden: \(c\) bewegt nur den Graphen, nie die Asymptote; \(|a|>1\) streckt; und \(b\) verschiebt nur, ohne die Form zu ändern.
10Nullstelle Schritt für SchrittAFB III

Gegeben ist \(f(x)=3\cdot\log_{2}(x-1)+6\).

Bestimmen Sie die Nullstelle in vier Schritten.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft.
  1. Setze \(f(x)=0\) und bringe die 6 auf die andere Seite: \(3\cdot\log_{2}(x-1)=\)
  2. Teile durch 3: \(\log_{2}(x-1)=\)
  3. Schreibe als Potenz: \(x-1=2^{-2}=\) (als Dezimalzahl)
  4. Also lautet die Nullstelle \(x=\)
Ein negatives Ergebnis im Logarithmus führt auf ein Argument zwischen 0 und 1: \(2^{-2}=\tfrac14=0{,}25\), also \(x=1{,}25\). Der Wert liegt im Definitionsbereich \(x>1\) — dicht neben der Asymptote, aber eben rechts davon.
11Der Definitionsbereich als IntervallAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\log_{2}(x-3)\).

Stellen Sie den Definitionsbereich auf der Zahlengeraden dar.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Ganz rechts steht der Griff für \(\infty\).
a: b:
Das Argument muss positiv sein: \(x-3>0\), also \(x>3\) und \(D=\,]3;\infty[\). Die 3 selbst gehört nicht dazu — dort liegt die senkrechte Asymptote, und die linke Klammer zeigt deshalb nach außen.
12Funktion und Asymptote verbindenAFB II

Verbinden Sie jede Funktion mit ihrer senkrechten Asymptote.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Nur der Ausdruck in der Klammer entscheidet. Setze ihn gleich null und löse nach \(x\) auf. Faktoren vor dem Logarithmus und Summanden dahinter ändern nichts daran — siehe die dritte und vierte Zeile.
13Stimmt das?AFB II

Fünf Aussagen zum Parameter-Labor.

Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz aus dem Applet: Die grüne Asymptote reagiert ausschließlich auf \(b\), und sie liegt bei \(x=-b\) — also spiegelverkehrt zum Vorzeichen in der Klammer.
14Punkte der verschobenen KurveAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\log_{2}(x+3)-1\).

Berechnen Sie die vier Funktionswerte und setzen Sie die Punkte in das Koordinatensystem. Die Kurve ist bereits eingezeichnet.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

\(f(-2)=\log_{2}(1)-1=-1\); \(f(-1)=\log_{2}(2)-1=0\); \(f(1)=\log_{2}(4)-1=1\); \(f(5)=\log_{2}(8)-1=2\). Die Nullstelle liegt bei \(x=-1\), die Asymptote bei \(x=-3\). Gegenüber \(\log_{2}(x)\) ist alles um 3 nach links und um 1 nach unten gewandert.
15Welcher Parameter bewirkt was?AFB II

Setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — in einer Zeile können es zwei sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
verschiebt in \(x\)-Richtungverschiebt in \(y\)-Richtungstreckt oder stauchtverschiebt die Asymptote
\(a\)
\(b\)
\(c\)
\(b\) ist der einzige Parameter mit zwei Kreuzen: Er verschiebt den Graphen waagerecht und nimmt die Asymptote mit. \(a\) ändert nur die Höhe der Kurve (und bei \(a<0\) ihre Richtung), \(c\) hebt oder senkt sie.
16Die Funktionsgleichung aufstellenAFB III

Der Graph einer Funktion \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c\) hat die senkrechte Asymptote \(x=-2\) und verläuft durch \((-1\,|\,0)\) und \((2\,|\,2)\).

Geben Sie den Funktionsterm an.

Gib den Term ein. Schreibweise: log2(x+2) für \(\log_{2}(x+2)\), Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.
Aus der Asymptote \(x=-2\) folgt \(b=2\). Der Punkt \((-1\,|\,0)\) liefert \(a\cdot\log_{2}(1)+c=c=0\). Der Punkt \((2\,|\,2)\) liefert \(a\cdot\log_{2}(4)=2a=2\), also \(a=1\). Damit ist \(f(x)=\log_{2}(x+2)\) — die um 2 nach links verschobene Grundfunktion.
17Die Umformungen ordnenAFB II

Aus \(\log_{2}(x)\) soll \(f(x)=-2\cdot\log_{2}(x-3)+1\) werden.

Bringen Sie die fünf Zeilen in eine sinnvolle Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Ausgangslage: \(\log_{2}(x)\), Asymptote bei \(x=0\).
2Um 3 nach rechts verschieben: \(\log_{2}(x-3)\).
3In \(y\)-Richtung mit 2 strecken: \(2\cdot\log_{2}(x-3)\).
4An der Waagerechten spiegeln: \(-2\cdot\log_{2}(x-3)\).
5Um 1 nach oben verschieben: \(-2\cdot\log_{2}(x-3)+1\).
Sinnvoll ist die Reihenfolge von innen nach außen: erst das Argument (\(b\)), dann der Faktor mit dem Vorzeichen (\(a\)), zuletzt der Summand (\(c\)). Die Asymptote wandert nur im zweiten Schritt mit — sie liegt am Ende bei \(x=3\).
18Den Streckfaktor bestimmenAFB III

Für \(f(x)=a\cdot\log_{2}(x)\) gilt \(f(8)=2\).

Bestimmen Sie \(a\) als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Enter prüft.
\(f(8)=a\cdot\log_{2}(8)=a\cdot 3=2\), also \(a=\tfrac23\). Wegen \(0<a<1\) ist der Graph in \(y\)-Richtung gestaucht: Er verläuft flacher als \(\log_{2}(x)\), geht aber weiterhin durch \((1\,|\,0)\) und hat dieselbe Asymptote.
19Was bewirkt die Änderung?AFB II

Ausgangspunkt ist jeweils \(f(x)=\log_{2}(x)\).

Ordnen Sie jede Änderung der passenden Wirkung zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Asymptote wandert mit
2Kurve wird gestreckt oder gestaucht
3Kurve wird nur nach oben oder unten verschoben
Nur eine Änderung in der Klammer bewegt die Asymptote. Ein Faktor davor verändert die Höhe der Kurve (bei negativem Faktor zusätzlich die Richtung), ein Summand dahinter hebt oder senkt sie — beides ohne Wirkung auf die Asymptote.
20Schnittstelle zweier LogarithmuskurvenAFB III

Gegeben sind \(f(x)=\log_{2}(x+6)\) und \(g(x)=\log_{2}(2x)\).

Berechnen Sie die Stelle \(x\), an der beide Graphen denselben Wert haben.

Wenn zwei Logarithmen zur selben Basis gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein. Enter prüft.
Aus \(\log_{2}(x+6)=\log_{2}(2x)\) folgt \(x+6=2x\), also \(x=6\). Kontrolle des Definitionsbereichs: \(x+6=12>0\) und \(2x=12>0\) ✓. Der gemeinsame Funktionswert ist \(\log_{2}(12)\approx 3{,}58\). Wichtig: Die Argumente dürfen erst gleichgesetzt werden, weil die Logarithmusfunktion streng monoton ist — jeder Wert wird also nur einmal angenommen.
Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zu Streckung, Verschiebung und senkrechter Asymptote: Datenbanksuche, Kaffeetasse, Bogensport, Serienfertigung und Inseln — zuletzt stellst du die Logarithmusfunktion selbst aus Messwerten auf. ZurückKapitelübersicht: FunktionenAlle Unterkapitel von den Potenzfunktionen bis zu den Logarithmusfunktionen.