Funktion f(x)=a·log₂(x+b)+c: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Suche in einer Kundendatenbank

AFB I

Ein Onlineshop speichert die Daten seiner Kundinnen und Kunden in einer sortierten Liste. Die Software findet einen Eintrag mit der binären Suche: Sie halbiert den zu durchsuchenden Bereich bei jedem Schritt. Für die Dauer einer Suchanfrage rechnet die Entwicklungsabteilung mit $$t(x)=0{,}5\cdot\log_{2}(x+1)+2\qquad\text{mit}\quad [t]=\mathrm{ms}.$$ Dabei ist $x$ die Anzahl der gespeicherten Einträge. Die $2\ \mathrm{ms}$ fallen unabhängig von der Listenlänge für den Verbindungsaufbau und die Ausgabe an.

Berechne die Dauer einer Suchanfrage für $x=7$, $x=63$ und $x=1023$ Einträge.
Gib an die Werte der Parameter $a$, $b$ und $c$ sowie die Bedeutung von $c$ im Sachzusammenhang.
Beschreibe wie der Graph von $t$ aus dem Graphen von $\log_{2}(x)$ hervorgeht, und gib dabei die Gleichung der senkrechten Asymptote an.

Hinweis zu Aufgabe a)

Alle drei Klammerwerte sind Zweierpotenzen: $8$, $64$ und $1024$. Rechne von innen nach außen — erst die Klammer, dann den Logarithmus, dann Mal und Plus.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Einsetzen in den Funktionsterm.

$t(7)=0{,}5\cdot\log_{2}(7+1)+2=0{,}5\cdot\log_{2}(8)+2=0{,}5\cdot 3+2=3{,}5$, also 3,5 ms.

$t(63)=0{,}5\cdot\log_{2}(64)+2=0{,}5\cdot 6+2=5$, also 5 ms.

$t(1023)=0{,}5\cdot\log_{2}(1024)+2=0{,}5\cdot 10+2=7$, also 7 ms. Die Liste wächst von $7$ auf $1023$ Einträge, die Suchdauer aber nicht einmal auf das Doppelte — genau das ist der Vorteil des logarithmischen Wachstums.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche den Term Zeichen für Zeichen mit der allgemeinen Form $f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c$. Der Summand $c$ steht außerhalb des Logarithmus und hängt deshalb nicht von $x$ ab.„Gib an“ verlangt die Angabe ohne Herleitung — dafür vollständig, also alle drei Zahlen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Vergleich mit $f(x)=a\cdot\log_{2}(x+b)+c$ liefert $a=0{,}5$, $b=1$ und $c=2$.

Der Summand $c=2$ ist die Grundzeit von $2\ \mathrm{ms}$ für Verbindungsaufbau und Ausgabe. Sie fällt bei jeder Anfrage an, ganz gleich wie lang die Liste ist, und verschiebt den Graphen um $2$ Einheiten nach oben.

Hinweis zu Aufgabe c)

Gehe die drei Parameter einzeln durch: erst die Streckung oder Stauchung in $y$-Richtung, dann die Verschiebung nach links oder rechts, dann die nach oben oder unten. Die Asymptote liegt dort, wo das Argument des Logarithmus null wird.„Beschreibe“ verlangt eine geordnete Wiedergabe in eigenen Worten unter Verwendung der Fachsprache.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Wegen $a=0{,}5$, also $0<|a|<1$, wird der Graph in $y$-Richtung gestaucht; da $a>0$ gilt, bleibt er streng monoton steigend. Wegen $b=1>0$ wandert er um $1$ nach links, wegen $c=2$ anschließend um $2$ nach oben.

Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo $x+1=0$ ist, also bei $x=-1$. Im Sachzusammenhang spielt sie keine Rolle, denn eine Kundenliste hat nie eine negative Anzahl von Einträgen; sinnvoll sind hier ganze Zahlen $x\ge 1$.

Abkühlende Kaffeetasse

AFB II

In einem Büro mit einer Raumtemperatur von $20\ ^\circ\mathrm{C}$ steht eine frisch eingeschenkte Tasse Kaffee. Messungen zeigen: Der Abstand der Kaffeetemperatur zur Raumtemperatur halbiert sich alle $6$ Minuten. Löst man das Abkühlungsgesetz nach der Zeit auf, erhält man $$t(T)=-6\cdot\log_{2}(T-20)+36\qquad\text{mit}\quad [t]=\mathrm{min}.$$ Dabei ist $T$ die Kaffeetemperatur in Grad Celsius und $t$ die seit dem Einschenken vergangene Zeit. Beim Einschenken war der Kaffee $84\ ^\circ\mathrm{C}$ heiß.

Berechne wie viele Minuten vergehen, bis der Kaffee auf $52\ ^\circ\mathrm{C}$ und bis er auf $28\ ^\circ\mathrm{C}$ abgekühlt ist.
Bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich des Terms sowie die Gleichung der senkrechten Asymptote und ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.
Ermittle die Temperatur des Kaffees $24$ Minuten nach dem Einschenken.
Begründe warum der Parameter $a=-6$ negativ sein muss und was das für den Verlauf des Graphen bedeutet.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze $T=52$ bzw. $T=28$ ein. Beide Klammerwerte sind Zweierpotenzen, du brauchst also keinen Taschenrechner.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$t(52)=-6\cdot\log_{2}(52-20)+36=-6\cdot\log_{2}(32)+36=-6\cdot 5+36=6$, also nach 6 min.

$t(28)=-6\cdot\log_{2}(8)+36=-6\cdot 3+36=18$, also nach 18 min.

Kontrolle: Beim Einschenken gilt $t(84)=-6\cdot\log_{2}(64)+36=-36+36=0$ — das Modell startet korrekt bei $0$ Minuten.

Hinweis zu Aufgabe b)

Das Argument eines Logarithmus muss echt größer als null sein. Frage dich anschließend, welche Temperatur der Kaffee nach sehr langer Zeit noch hat.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Definitionsbereich: Es muss $T-20>0$ gelten, also $T>20$. Damit ist $D=\,]20\,;\,\infty[$.

Asymptote: Mit $b=-20$ liegt die senkrechte Asymptote bei $T=-b$, also bei $T=20$.

Deutung: Je näher die Kaffeetemperatur an die Raumtemperatur von $20\ ^\circ\mathrm{C}$ heranrückt, desto größer wird die dafür benötigte Zeit. Nach diesem Modell werden $20\ ^\circ\mathrm{C}$ nie exakt erreicht — der Kaffee gleicht sich der Umgebung nur immer weiter an. Zum Vergleich: $t(21)=-6\cdot\log_{2}(1)+36=36$ Minuten, $t(20{,}5)=-6\cdot\log_{2}(0{,}5)+36=6+36=42$ Minuten.

Hinweis zu Aufgabe c)

Hier ist der Funktionswert $t=24$ gegeben und $T$ gesucht. Stelle die Gleichung nach dem Logarithmus um und nutze dann, dass $\log_{2}(u)=k$ gleichbedeutend mit $u=2^{k}$ ist.„Ermittle“ verlangt hier, den Rechenweg rückwärts zu gehen und das Ergebnis zu formulieren.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $24=-6\cdot\log_{2}(T-20)+36$.

Beidseitig $36$ abziehen: $-12=-6\cdot\log_{2}(T-20)$, also $\log_{2}(T-20)=2$.

Entlogarithmieren: $T-20=2^{2}=4$, also $T=24$. Der Kaffee ist noch 24 °C warm.

Probe: $-6\cdot\log_{2}(24-20)+36=-6\cdot 2+36=24$ — die Probe stimmt.

Hinweis zu Aufgabe d)

Überlege, ob die benötigte Zeit größer oder kleiner wird, wenn du eine höhere Zieltemperatur $T$ einsetzt. Vergleiche das mit dem Verlauf von $\log_{2}$.„Begründe“ heißt: die Aussage nennen und sie auf eine Regel oder einen Sachzusammenhang zurückführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Funktion $\log_{2}$ steigt streng monoton. Ein negativer Faktor $a$ spiegelt den Graphen an der Waagerechten, sodass $t$ streng monoton fällt.

Genau das verlangt der Sachzusammenhang: Je höher die Zieltemperatur $T$, desto früher ist sie erreicht, desto kleiner ist also $t$ — vergleiche $t(52)=6$ mit $t(28)=18$. Ein positives $a$ würde bedeuten, dass heißerer Kaffee später auftritt als kalter; das widerspricht dem Abkühlen.

Der Betrag $|a|=6$ ist die Halbwertszeit: Immer wenn sich der Abstand $T-20$ halbiert, vergehen weitere $6$ Minuten.

Trefferquote im Bogensport

AFB II

Ein Bogensportverein wertet die Trainingsdaten seiner Anfängergruppe aus. Alle Teilnehmenden hatten vor dem Kursbeginn bereits zwei Wochen Schnuppertraining. Für den Anteil der Treffer im Goldbereich gilt näherungsweise $$P(x)=8\cdot\log_{2}(x+2)+30\qquad\text{mit}\quad [P]=\%.$$ Dabei zählt $x$ die Trainingswochen ab dem Kursbeginn.

Berechne die Trefferquote zum Kursbeginn, nach $6$ Wochen und nach $30$ Wochen.
Bestimme nach wie vielen Trainingswochen die Trefferquote $62\ \%$ erreicht.
Zeige dass die Trefferquote um genau $8$ Prozentpunkte steigt, wenn sich der Klammerterm $x+2$ verdoppelt.
Überprüfe die Aussage des Trainers „Nach zwei Jahren Training triffst du zu 100 Prozent.“

Hinweis zu Aufgabe a)

Kursbeginn bedeutet $x=0$. Die Klammerwerte $2$, $8$ und $32$ sind Zweierpotenzen.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$P(0)=8\cdot\log_{2}(0+2)+30=8\cdot 1+30=38$, also 38 %.

$P(6)=8\cdot\log_{2}(8)+30=8\cdot 3+30=54$, also 54 %.

$P(30)=8\cdot\log_{2}(32)+30=8\cdot 5+30=70$, also 70 %. In den ersten $6$ Wochen steigt die Quote um $16$ Prozentpunkte, in den folgenden $24$ Wochen ebenfalls nur um $16$ Prozentpunkte — der Fortschritt wird deutlich langsamer.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze $P(x)=62$ und stelle die Gleichung nach $\log_{2}(x+2)$ um. Aus $\log_{2}(x+2)=k$ folgt $x+2=2^{k}$.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: $62=8\cdot\log_{2}(x+2)+30$.

$32=8\cdot\log_{2}(x+2)$, also $\log_{2}(x+2)=4$ und damit $x+2=2^{4}=16$.

Es folgt $x=14$: Die Trefferquote von $62\ \%$ wird nach 14 Trainingswochen erreicht. Probe: $8\cdot\log_{2}(16)+30=32+30=62$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze in den Funktionsterm statt $x+2$ den doppelten Wert $2\cdot(x+2)$ ein und nutze das Logarithmusgesetz $\log_{2}(2\cdot u)=\log_{2}(2)+\log_{2}(u)$.„Zeige“ verlangt eine allgemeine, nachvollziehbare Rechnung — ein einzelnes Beispiel genügt nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: Verdoppelt sich der Klammerterm, so lautet der neue Funktionswert $$8\cdot\log_{2}\big(2\cdot(x+2)\big)+30=8\cdot\big(\log_{2}(2)+\log_{2}(x+2)\big)+30.$$

Wegen $\log_{2}(2)=1$ ergibt das $8+8\cdot\log_{2}(x+2)+30=P(x)+8$.

Der Zuwachs beträgt also stets genau 8 Prozentpunkte, unabhängig davon, bei welchem $x$ man startet — das ist gerade der Parameter $a=8$. Kontrolle: Von $x=6$ (Klammerwert $8$) zu $x=14$ (Klammerwert $16$) steigt die Quote von $54\ \%$ auf $62\ \%$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Zwei Jahre sind $104$ Wochen. Berechne $P(104)$ und löse zusätzlich die Gleichung $P(x)=100$.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Aussage trifft zu oder sie trifft nicht zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Wert nach zwei Jahren: $P(104)=8\cdot\log_{2}(104+2)+30=8\cdot\log_{2}(106)+30$. Mit $\log_{2}(106)\approx 6{,}728$ folgt $P(104)\approx 8\cdot 6{,}728+30\approx 83{,}8$, also rund 83,8 %.

Wann wären es 100 %? Aus $100=8\cdot\log_{2}(x+2)+30$ folgt $\log_{2}(x+2)=\frac{70}{8}=8{,}75$, also $x+2=2^{8{,}75}\approx 430{,}5$ und $x\approx 428{,}5$. Das entspricht mehr als 8 Jahren.

Urteil: Die Aussage trifft nicht zu. Nach zwei Jahren fehlen noch gut $16$ Prozentpunkte, denn der Logarithmus wächst immer langsamer. Fachlich ist das Modell ohnehin nur begrenzt brauchbar: Für $x>428{,}5$ liefert es Quoten über $100\ \%$, was im Sachzusammenhang unmöglich ist.

Stückkosten in der Serienfertigung

AFB II

Ein Zulieferer fertigt ein neues Bauteil. Vor dem Serienstart wurden bereits $2$ Tausend Stück in einer Vorserie hergestellt. Mit wachsender Routine sinken die Stückkosten; das Controlling beschreibt sie mit $$K(x)=-4\cdot\log_{2}(x+2)+52.$$ Dabei ist $x$ die seit dem Serienstart zusätzlich gefertigte Menge in Tausend Stück und $K$ sind die Stückkosten in Euro.

Berechne die Stückkosten nach zusätzlich $6$ Tausend und nach zusätzlich $30$ Tausend gefertigten Stück.
Ermittle ab welcher zusätzlich gefertigten Menge die Stückkosten unter $35$ Euro liegen.
Erkläre welche Bedeutung der Parameter $b=2$ im Sachzusammenhang hat und wo die senkrechte Asymptote des Graphen liegt.
Überprüfe die Aussage der Geschäftsführung „Wenn wir die Menge $x$ verdoppeln, sinken die Stückkosten um $4$ Euro.“ am Beispiel $x=6$.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze $x=6$ bzw. $x=30$ ein. Achte darauf, dass der Faktor $-4$ erst nach dem Logarithmus wirkt.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$K(6)=-4\cdot\log_{2}(6+2)+52=-4\cdot\log_{2}(8)+52=-4\cdot 3+52=40$, also 40 Euro je Stück.

$K(30)=-4\cdot\log_{2}(32)+52=-4\cdot 5+52=32$, also 32 Euro je Stück.

Zum Vergleich: Beim Serienstart gilt $K(0)=-4\cdot\log_{2}(2)+52=-4+52=48$, also $48$ Euro je Stück.

Hinweis zu Aufgabe b)

Löse zuerst die Gleichung $K(x)=35$. Der Exponent wird diesmal keine ganze Zahl — nutze deinen Taschenrechner für $2^{4{,}25}$. Überlege danach, ob die Lösung eine Unter- oder eine Obergrenze ist.„Ermittle“ verlangt einen erkennbaren Rechenweg und ein im Sachzusammenhang formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: $35=-4\cdot\log_{2}(x+2)+52$.

$-17=-4\cdot\log_{2}(x+2)$, also $\log_{2}(x+2)=\frac{17}{4}=4{,}25$.

Entlogarithmieren: $x+2=2^{4{,}25}\approx 19{,}03$, also $x\approx 17{,}03$.

Da $K$ wegen $a=-4<0$ streng monoton fällt, liegen die Stückkosten für $x>17{,}03$ unter $35$ Euro. Nach dem Serienstart müssen also rund 17 100 zusätzliche Stück gefertigt werden. Probe: $K(17{,}03)\approx 35{,}00$ Euro.

Hinweis zu Aufgabe c)

Der Summand $b$ steht innerhalb des Logarithmus und verschiebt den Graphen waagerecht. Frage dich, welche Menge insgesamt gefertigt wurde, wenn seit dem Serienstart $x$ Tausend Stück dazugekommen sind.„Erkläre“ verlangt, den Sachverhalt auf seine Ursache zurückzuführen und verständlich einzuordnen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bedeutung: Der Klammerterm $x+2$ ist die insgesamt gefertigte Menge in Tausend Stück — die $2$ Tausend Stück der Vorserie plus die $x$ Tausend Stück seit dem Serienstart. Die Erfahrung des Betriebs beginnt also nicht bei null. Geometrisch verschiebt $b=2>0$ den Graphen von $\log_{2}$ um $2$ Einheiten nach links.

Rechnerische Notwendigkeit: Ohne diesen Summanden wäre $K(0)$ gar nicht definiert, denn $\log_{2}(0)$ existiert nicht. Mit $b=2$ liefert das Modell dagegen den sinnvollen Startwert $K(0)=48$ Euro.

Asymptote: Sie liegt bei $x+2=0$, also bei $x=-2$. Dort wäre die insgesamt gefertigte Menge null; diese Stelle liegt außerhalb des Sachbereichs, denn sinnvoll ist $x\ge 0$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Vergleiche $K(6)$ mit $K(12)$. $\log_{2}(14)$ ist keine ganze Zahl; rechne mit $\log_{2}(14)\approx 3{,}807$. Prüfe anschließend, was sich stattdessen verdoppeln müsste.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Aussage trifft zu oder sie trifft nicht zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Rechnung: $K(6)=40$ Euro. Für die verdoppelte Menge gilt $K(12)=-4\cdot\log_{2}(14)+52\approx -4\cdot 3{,}807+52\approx 36{,}77$ Euro.

Der Rückgang beträgt also nur $40-36{,}77=3{,}23$ Euro und nicht $4$ Euro.

Urteil: Die Aussage trifft nicht zu. Um genau $4$ Euro sinken die Kosten erst, wenn sich der Klammerterm $x+2$ verdoppelt, also von $x=6$ mit $x+2=8$ auf $x=14$ mit $x+2=16$: $K(14)=-4\cdot 4+52=36$ Euro, das sind genau $4$ Euro weniger.

Einordnung: Für große Mengen fällt die Vorserie kaum noch ins Gewicht, dann nähert sich der Kostenrückgang bei einer Verdopplung von $x$ dem Wert $4$ Euro an. Als Faustregel taugt die Aussage also erst später in der Serie, nicht am Anfang.

Artenvielfalt auf Inseln

AFB III

In der Ökologie beschreibt man den Zusammenhang zwischen der Fläche einer Insel und der Zahl der dort brütenden Vogelarten häufig mit einem Logarithmusmodell $$S(A)=a\cdot\log_{2}(A+1)+c.$$ Dabei ist $A$ die Inselfläche in Hektar und $S$ die Artenzahl. Der Summand $1$ sorgt dafür, dass auch die winzigste Sandbank noch einen Funktionswert besitzt.

Auf dem Archipel I wurde gezählt: Eine Sandbank mit $A=0$ trägt $3$ Arten, eine Insel mit $A=7$ trägt $18$ Arten, eine Insel mit $A=63$ trägt $33$ Arten. Für den benachbarten Archipel II liegt bereits ein fertiges Modell vor: $$T(A)=8\cdot\log_{2}(A+1)+1.$$

Ermittle die Werte von $a$ und $c$ für den Archipel I aus den ersten beiden Messwerten, gib den vollständigen Funktionsterm $S(A)$ an und kontrolliere ihn am dritten Messwert.
Vergleiche die beiden Modelle $S$ und $T$ und gib an, ab welcher Inselfläche der Archipel II mehr Arten trägt als der Archipel I.
Untersuche das Verhalten des Modells $S$ für sehr kleine und für sehr große Inselflächen.
Beurteile ob das Modell $S$ allein ausreicht, um zu entscheiden, ob ein Schutzgebiet besser aus einer Insel von $60$ Hektar oder aus vier Inseln von je $15$ Hektar bestehen sollte.

Hinweis zu Aufgabe a)

Der Messwert mit $A=0$ ist besonders bequem: Dort ist $\log_{2}(1)=0$, sodass sofort nur $c$ übrig bleibt. Setze anschließend den zweiten Messwert ein.„Ermittle“ verlangt hier, das Modell aus Daten zu gewinnen — jeder Parameter braucht eine erkennbare Herleitung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Erster Messwert: $S(0)=a\cdot\log_{2}(0+1)+c=a\cdot 0+c=c$. Aus $S(0)=3$ folgt sofort $c=3$.

Zweiter Messwert: $S(7)=a\cdot\log_{2}(8)+3=3a+3$. Aus $S(7)=18$ folgt $3a=15$, also $a=5$.

Funktionsterm: $S(A)=5\cdot\log_{2}(A+1)+3$.

Kontrolle: $S(63)=5\cdot\log_{2}(64)+3=5\cdot 6+3=33$ — der dritte Messwert wird exakt getroffen, das Modell passt zu allen drei Beobachtungen.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze $S(A)=T(A)$ und fasse die beiden Logarithmusterme zusammen. Wenn am Ende $\log_{2}(A+1)=k$ steht, gilt $A+1=2^{k}$.„Vergleiche“ verlangt, beide Modelle nach denselben Gesichtspunkten gegenüberzustellen und die Unterschiede zu benennen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gleichsetzen: $5\cdot\log_{2}(A+1)+3=8\cdot\log_{2}(A+1)+1$.

Umstellen liefert $2=3\cdot\log_{2}(A+1)$, also $\log_{2}(A+1)=\frac{2}{3}$ und damit $A+1=2^{\frac{2}{3}}\approx 1{,}587$, also $A\approx 0{,}59$.

Für Flächen über $0{,}59$ Hektar verläuft $T$ oberhalb von $S$: Dort trägt der Archipel II mehr Arten. Kontrolle: $S(7)=18$ gegenüber $T(7)=8\cdot\log_{2}(8)+1=25$.

Unterschiede: Beide Modelle haben dieselbe senkrechte Asymptote $A=-1$ und beide steigen streng monoton. Sie unterscheiden sich in $a$ und $c$: Der Archipel I startet auf winzigen Flächen höher ($c=3$ gegenüber $c=1$), doch der Archipel II reagiert viel stärker auf Flächenzuwachs — jede Verdopplung von $A+1$ bringt dort $8$ statt nur $5$ zusätzliche Arten.

Hinweis zu Aufgabe c)

Bestimme zuerst die senkrechte Asymptote von $S$ und prüfe, ob diese Stelle im Sachzusammenhang überhaupt vorkommen kann. Rechne für den anderen Fall zum Beispiel $A=10\,000$ Hektar aus.„Untersuche“ verlangt ein planvolles Vorgehen: erst rechnen, dann die Ergebnisse im Sachzusammenhang einordnen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Kleine Flächen: Die senkrechte Asymptote liegt bei $A+1=0$, also bei $A=-1$. Negative Flächen gibt es nicht, die kritische Stelle liegt damit außerhalb des Sachbereichs $A\ge 0$. Am Rand liefert das Modell $S(0)=3$ Arten — auch der kleinsten Sandbank werden also einige Arten zugeschrieben, was zur Messung passt.

Große Flächen: $S(10\,000)=5\cdot\log_{2}(10\,001)+3$. Mit $\log_{2}(10\,001)\approx 13{,}288$ ergibt sich $S\approx 69{,}4$, also rund 69 Arten. Gegenüber $S(63)=33$ Arten bringt die über $150$-fache Fläche nur etwa die doppelte Artenzahl.

Fazit: $S$ wächst unbeschränkt, aber immer langsamer — jede Verdopplung von $A+1$ bringt konstant $5$ Arten hinzu. Biologisch ist unbeschränktes Wachstum nicht möglich, weil der regionale Artenvorrat begrenzt ist. Für sehr große Flächen liefert das Modell deshalb zu hohe Werte; brauchbar ist es nur im Bereich der gemessenen Flächen.

Hinweis zu Aufgabe d)

Berechne beide Fälle mit $S$. Überlege dann genau, ob die Summe der vier Einzelergebnisse tatsächlich die Zahl der insgesamt geschützten Arten angibt.„Beurteile“ verlangt ein eigenständiges, mit Fachwissen begründetes Urteil — nicht nur ein Ja oder Nein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Eine große Insel: $S(60)=5\cdot\log_{2}(61)+3$. Mit $\log_{2}(61)\approx 5{,}931$ folgt $S(60)\approx 32{,}7$, also rund 33 Arten.

Vier kleine Inseln: $S(15)=5\cdot\log_{2}(16)+3=5\cdot 4+3=23$, also 23 Arten auf jeder einzelnen Insel.

Urteil: Das Modell allein reicht nicht aus. Rein rechnerisch stünden $33$ Arten gegen $4\cdot 23=92$ Arten, doch diese Summe ist unzulässig: $S$ gibt die Artenzahl je Insel an, und dieselbe häufige Art wird auf allen vier Inseln mitgezählt. Über die Überschneidung der Artenlisten sagt das Modell nichts.

Was fehlt: Das Modell kennt nur die Fläche. Lebensraumvielfalt, Entfernung zum Festland, Randeffekte und der Platzbedarf revierbildender Arten bleiben unberücksichtigt. Eine belastbare Empfehlung verlangt zusätzlich die tatsächlichen Artenlisten der einzelnen Inseln — erst daraus lässt sich ablesen, wie viele verschiedene Arten vier kleine Inseln zusammen beherbergen.

TextaufgabenDie Funktion f(x) = a · log_2(x + b) + c

Suche in einer Kundendatenbank

Abkühlende Kaffeetasse

Trefferquote im Bogensport

Stückkosten in der Serienfertigung

Artenvielfalt auf Inseln