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3.4.2 · Interaktive Übungen

Übungen: Ableiten ohne GTR

Zwanzig interaktive Aufgaben zur Formeltafel — ableiten von Hand, Werte bestimmen und aus einer Steigung die Stelle finden.

ZurückZur ErklärungDie zwölfzeilige Formeltafel und die Leitfrage „Ableiten ohne GTR“
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Übungsaufgaben

Diese Seite ist die Übung zur Tafel: Alles, was dort in zwölf Zeilen steht, wird hier einzeln abgefragt und anschließend gemischt. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen von Hand — Terme umschreiben, ableiten, Werte einsetzen und die Gegenrichtung gehen, also aus einer gegebenen Steigung die passende Stelle bestimmen. Die letzten Aufgaben verbinden mehrere Schritte zu einer kleinen Kurvenuntersuchung. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

A1Die Tafel als MemoryAFB I

Sechs Zeilen der Formeltafel, zwölf Karten: Finden Sie zu jeder Funktion die passende Ableitung.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um. Mit Tab und Enter geht es genauso.
Das sind sechs der zwölf Tafelzeilen. Die beiden letzten Paare sind Sonderfälle der Potenzregel: \(x=x^{1}\Rightarrow 1\cdot x^{0}=1\) und eine Konstante hat überall die Steigung 0.
A2Erst als Potenz schreibenAFB I

Jeder Term lässt sich als \(x^{n}\) schreiben. Tragen Sie den Exponenten \(n\) ein — Brüche als Dezimalzahl, also \(\tfrac12\) als 0,5.

Trage in jedes Feld eine Zahl ein. Enter prüft.
Term\(\dfrac{1}{x}\)\(\dfrac{1}{x^{2}}\)\(\sqrt{x}\)\(\dfrac{1}{x^{5}}\)\(x\)\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
Exponent \(n\)
Ein Bruch macht den Exponenten negativ, eine Wurzel macht ihn gebrochen — und beides zusammen ergibt \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}\). Erst in dieser Schreibweise greift die Potenzregel.
A3Welchen Grad hat die Ableitung?AFB I

Stellen Sie für jede Funktion ein, welchen Grad ihre Ableitung hat — ohne sie vollständig hinzuschreiben.

Wähle in jeder Zeile die Stufe 1 bis 5 — die Stufe ist der Grad von f′. Pfeiltasten wandern, Enter wählt.
Grad 1Grad 5
f(x) = x² + 3x
f(x) = 2x⁴
f(x) = x⁶ − x
f(x) = 5x³ + x²
f(x) = x⁵ + 7
Jedes Ableiten senkt den Grad um genau 1. Der konstante Summand ändert daran nichts — er verschwindet einfach.
A4Von der Wurzel zur AbleitungAFB I

Bringen Sie die fünf Schritte in die richtige Reihenfolge — es ist der Weg, den die Tafelzeile zu \(f(x)=\sqrt{x}\) in vier Feldern zeigt.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Die Wurzel als Potenz schreiben: aus √x wird x hoch ein halb.
2Die Potenzregel anwenden: Exponent nach vorn ziehen, Exponent um 1 verkleinern.
3Der Exponent ist jetzt negativ — die Potenz wandert in den Nenner.
4Die Potenz im Nenner wieder als Wurzel schreiben.
5Zum Schluss prüfen: x = 0 ist ausgeschlossen, weil im Nenner keine Null stehen darf.
Der Weg lautet \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\Rightarrow \tfrac12x^{-\frac12}=\dfrac{1}{2x^{\frac12}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). Genau diese vier Felder standen in der Tafel nebeneinander — jedes Feld ein Umformungsschritt.
A5Sechs Zeilen der Tafel selbst ausfüllenAFB II

Bestimmen Sie zu jeder Funktion den Term der Ableitung. Wurzeln schreiben Sie als sqrt(x), Brüche mit /.

Ein Feld pro Zeile, Enter prüft alles auf einmal.
\(f(x)\)\(f'(x)\)
\(\dfrac{1}{x^{3}}\)
\(\sqrt{x}\)
\(\dfrac{5}{x}\)
\(x^{7}\)
\(-x\)
\(4\sqrt{x}\)
Bei \(\dfrac{1}{x^{3}}=x^{-3}\) wird der Exponent \(-3\) zum Faktor und um 1 kleiner: \(-3x^{-4}\). Beim letzten Term kürzt sich der Faktor: \(4\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}\).
A6Ein Ableitungswert als BruchAFB II

\(f(x)=\sqrt{x}\)

Berechnen Sie \(f'(4)\) und geben Sie das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.
Mit \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) folgt \(f'(4)=\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac14\). Die Wurzelfunktion wird also immer flacher: Bei \(x=1\) ist die Steigung noch \(\tfrac12\), bei \(x=4\) nur noch \(\tfrac14\).
A7Rückwärts: die Stelle suchenAFB II

\(f(x)=x^{2}\), und an der Stelle \(x_{0}\) hat der Graph die Steigung 7.

Bestimmen Sie \(x_{0}\).

Nicht den Wert der Ableitung ausrechnen, sondern die Gleichung \(f'(x_{0})=7\) lösen. Enter prüft.
Aus \(2x_{0}=7\) folgt \(x_{0}=3{,}5\). Bei der Normalparabel ist die Steigung genau doppelt so groß wie die Stelle — deshalb gehört zu jeder Steigung genau eine Stelle.
A8Die Hyperbel Schritt für SchrittAFB II

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\)

Arbeiten Sie sich von der Potenzschreibweise bis zu zwei Ableitungswerten vor.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft.
  1. Schreibe \(f(x)=\dfrac1x\) als Potenz \(x^{n}\). Welchen Wert hat \(n\)?
  2. Nach der Potenzregel ist \(f'(x)=n\cdot x^{\,n-1}\). Welchen Exponenten hat \(x\) in \(f'\)?
  3. Berechne \(f'(0{,}5)\).
  4. Berechne \(f'(2)\).
Es ist \(f'(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}\). Die Ableitung ist überall negativ — die Hyperbel fällt auf beiden Ästen. Nahe der Null wird sie extrem steil (\(-4\)), weit draußen fast waagerecht (\(-0{,}25\)).
A9Vorzeichen der Steigung an der Stelle 2AFB II

Ordnen Sie jede Funktion danach ein, welches Vorzeichen \(f'(2)\) hat.

Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 \(f'(2)>0\)
2 \(f'(2)=0\)
3 \(f'(2)<0\)
Der Reihe nach: \(2x\to4\); \(\dfrac{1}{2\sqrt2}\approx0{,}35\); \(x^{3}\to8\); \(2x-4\to0\); \(3x^{2}-12\to0\); \(0\); \(-2x\to-4\); \(-\dfrac{1}{4}\); \(-3\). Die drei Nullen stehen für waagerechte Tangenten — bei der konstanten Funktion sogar an jeder Stelle.
A10Den Ableitungsterm zusammenbauenAFB II

\(f(x)=2\sqrt{x}+\dfrac{3}{x}\)

Bauen Sie den Term von \(f'(x)\) aus den Bausteinen zusammen — von links nach rechts gelesen.

Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso. Vier Bausteine bleiben übrig.
Der erste Summand: \(2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) — die 2 kürzt sich weg. Der zweite: \(3x^{-1}\Rightarrow -3x^{-2}=-\dfrac{3}{x^{2}}\). Zusammen \(f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{x^{2}}\).
A11Was ist bei welcher Zeile zu tun?AFB II

Setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
muss erst als Potenz geschrieben werdenein Zahlfaktor bleibt stehendie Ableitung ist 0im Ergebnis steht wieder eine Wurzel
\(f(x)=\sqrt{x}\)
\(f(x)=7\)
\(f(x)=4x^{3}\)
\(f(x)=\dfrac{2}{x}\)
\(f(x)=3\sqrt{x}\)
Umgeschrieben werden muss immer dann, wenn \(x\) im Nenner oder unter der Wurzel steht. Eine Wurzel im Ergebnis bleibt nur dort, wo auch im Ausgangsterm eine stand — bei \(\dfrac{2}{x}\) entsteht dagegen wieder ein Bruch.
A12Fehlersuche in der FormeltafelAFB II

Drei Zeilen einer abgeschriebenen Tafel sind falsch. Klicken Sie genau diese an.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zwei der drei Fehler betreffen den Exponenten, einer die Konstante. Genau diese drei Stellen sind in Klassenarbeiten die häufigsten Punktverluste.
A13Wurzel und Bruch in einem TermAFB II

\(f(x)=3\sqrt{x}-\dfrac{4}{x}\)

Bestimmen Sie \(f'(x)\).

Schreibweise: 3/(2sqrt(x))+4/x^2. Höchstens zwei Summanden. Enter prüft.
Erster Summand: \(3\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3}{2\sqrt{x}}\). Zweiter Summand: \(-4x^{-1}\Rightarrow +4x^{-2}=+\dfrac{4}{x^{2}}\) — aus dem Minus wird ein Plus, weil der Exponent \(-1\) das Vorzeichen dreht.
A14Steigung 3 an der Stelle 1AFB II

Wählen Sie alle Funktionen aus, deren Graph an der Stelle \(x=1\) die Steigung 3 hat.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
Die Werte lauten \(3\cdot1^{2}=3\); \(3\); \(2\cdot1+1=3\); \(2\); \(\tfrac12\); \(-3\). Drei völlig verschiedene Funktionen können an derselben Stelle dieselbe Steigung haben — ihre Tangenten sind dort parallel.
A15Welcher Weg führt zum Ziel?AFB II

\(f(x)=\dfrac{5}{x^{3}}\)

Entscheiden Sie mit dem Fragebaum, wie diese Funktion abzuleiten ist.

Beantworte die Fragen nacheinander mit „Ja“ oder „Nein“. Am Ende steht das Ergebnis — stimmt es für die gegebene Funktion?

    Der Weg lautet Ja – Ja – Ja: Das \(x\) steht im Nenner, der Term lässt sich als \(5x^{-3}\) schreiben, und die 5 ist ein Zahlfaktor. Damit ist \(f'(x)=5\cdot(-3)x^{-4}=-\dfrac{15}{x^{4}}\).
    A16Sechs Zeilen prüfen und berichtigenAFB III

    Drei der sechs Zeilen sind falsch. Markieren Sie diese und tragen Sie die richtige Ableitung ein.

    Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Wurzeln als sqrt(x), Brüche mit /.
    Zeile 3: Der Faktor \(\tfrac14\) bleibt stehen, \(\tfrac14\cdot4x^{3}=x^{3}\). Zeile 4: Zwei Minuszeichen heben sich auf — \(-6x^{-1}\Rightarrow +6x^{-2}\). Zeile 6: Der Summand \(x\) liefert die vergessene 1.
    A17Rückwärts bei der WurzelfunktionAFB III

    \(f(x)=\sqrt{x}\), und an der Stelle \(x_{0}\) beträgt die Steigung \(\tfrac16\).

    Bestimmen Sie \(x_{0}\).

    Setze \(f'(x_{0})=\tfrac16\) an und löse nach \(x_{0}\) auf. Enter prüft.
    Aus \(\dfrac{1}{2\sqrt{x_{0}}}=\dfrac16\) folgt \(2\sqrt{x_{0}}=6\), also \(\sqrt{x_{0}}=3\) und \(x_{0}=9\). Wer die Wurzel am Ende vergisst, landet bei 3 — eine Probe mit \(f'(3)\approx0{,}29\) deckt den Fehler sofort auf.
    A18Vier Angaben zu einer FunktionAFB III

    \(f(x)=\tfrac14x^{4}-x^{2}\)

    Bestimmen Sie die beiden Ableitungsterme, den Wert \(f'(2)\) und die positive Nullstelle von \(f'\).

    Die ersten beiden Felder erwarten Terme (x^3-2x), die letzten beiden Zahlen. Runde die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen. Enter prüft alle Felder.
    Es ist \(f'(x)=x^{3}-2x=x\,(x^{2}-2)\), also \(f'(2)=8-4=4\) und \(f'(x)=0\) für \(x=0\) sowie \(x=\pm\sqrt2\approx\pm1{,}41\). An diesen drei Stellen hat der Graph waagerechte Tangenten.
    A19Steigungen am Graphen ablesenAFB III

    Der Graph zeigt \(f(x)=\tfrac13x^{3}-x\). Fünf Punkte sind markiert.

    Klicken Sie nacheinander die gesuchten Punkte an.

    Klicke den jeweils gefragten Punkt an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

    xy−3−2−1123−3−2−1123
    Mit \(f'(x)=x^{2}-1\) ist \(f'(\pm1)=0\), \(f'(0)=-1\) (das Minimum der Ableitung) und \(f'(\pm2)=3\). Die Steigung 3 tritt an zwei Stellen auf — nur bei \(x=2\) liegt der Punkt oberhalb der \(x\)-Achse.
    A20Eine Klausurfunktion vollständig untersuchenAFB III

    \(f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x\)

    Bestimmen Sie die Ableitung, ihre Nullstellen und einen Zwischenwert.

    Fünf Schritte. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
    1. Die Ableitung hat die Form \(f'(x)=a\,x^{2}+b\,x+c\). Welchen Wert hat \(a\)?
    2. Wie groß ist \(f'(0)\)?
    3. Die Gleichung \(f'(x)=0\) hat zwei Lösungen. Wie lautet die kleinere?
    4. Wie lautet die größere?
    5. Berechne \(f'(1{,}5)\).
    Es ist \(f'(x)=6x^{2}-18x+12=6\,(x-1)(x-2)\). Zwischen den beiden Nullstellen ist die Ableitung negativ — bei \(x=1{,}5\) beträgt sie \(-1{,}5\). Der Graph steigt also, fällt und steigt wieder.
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