Kläranlage: Schadstoff im Ablauf
AFB INach einem Störfall wird die Schadstoffkonzentration im Ablauf einer Kläranlage durch \(S(t)=0{,}5t^{3}-6t^{2}+18t\) beschrieben; \(t\) ist die Zeit in Stunden mit \(0\le t\le 8\) und \(S(t)\) die Konzentration in \(\tfrac{\text{mg}}{\ell}\).
- Bestimmen Sie \(S'(t)\) und \(S''(t)\).
- Berechnen Sie \(S'(2)\) und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt, und geben Sie diese Abnahmerate an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(S'(t)=1{,}5t^{2}-12t+18\) und \(S''(t)=3t-12\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(S'(2)=1{,}5\cdot 4-24+18=6-24+18=0\). Die Konzentration ändert sich nach zwei Stunden momentan nicht: Dort liegt mit \(S(2)=4-24+36=16\ \tfrac{\text{mg}}{\ell}\) der Höchstwert, der Anstieg geht in den Abbau über.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(S''(t)=0 \Leftrightarrow 3t-12=0 \Leftrightarrow t=4\); \(S''\) wechselt dort das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\), \(S'\) hat also einen Tiefpunkt.
\(S'(4)=1{,}5\cdot 16-48+18=24-48+18=-6\). Nach vier Stunden nimmt die Konzentration am stärksten ab, nämlich mit \(6\ \tfrac{\text{mg}}{\ell\cdot\text{h}}\).
Reichweite eines Funksignals
AFB IIFür die Reichweite eines Funksenders gilt näherungsweise \(r(P)=10\sqrt{P}\); dabei ist \(P\) die Sendeleistung in Watt und \(r(P)\) die Reichweite in Kilometern. Ein Techniker betreibt den Sender mit 25 W.
- Bestimmen Sie \(r'(P)\) mit Faktorregel und Wurzelableitung.
- Berechnen Sie \(r'(25)\) und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
- Beurteilen Sie die Aussage: „Doppelte Sendeleistung bedeutet doppelte Reichweite.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(r(P)=10\cdot P^{1/2}\), also \(r'(P)=10\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{P}}=\dfrac{5}{\sqrt{P}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(r'(25)=\dfrac{5}{5}=1\), also \(1\ \tfrac{\text{km}}{\text{W}}\). Deutung: Bei einer Sendeleistung von 25 W wächst die Reichweite im Moment um etwa einen Kilometer je zusätzlichem Watt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch. Es gilt \(r(25)=50\ \text{km}\) und \(r(50)=10\sqrt{50}\approx 70{,}7\ \text{km}\) — statt einer Verdopplung ergibt sich nur der Faktor \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\).
Der Grund liegt in der Wurzel: \(r(2P)=10\sqrt{2P}=\sqrt{2}\cdot r(P)\). Passend dazu wird \(r'(P)=\tfrac{5}{\sqrt{P}}\) mit wachsender Leistung immer kleiner: Bei 100 W bringt ein zusätzliches Watt nur noch 0,5 km. Für eine Verdopplung der Reichweite bräuchte man die vierfache Leistung.
Fahrtenschreiber eines Busses
AFB IIMaterial M1 zeigt Werte aus dem Fahrtenschreiber eines Busses: den zurückgelegten Weg \(s\), die Geschwindigkeit \(s'\) und die Beschleunigung \(s''\).
| \(t\) in min | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(s(t)\) in km | 0 | 1,4 | 3,6 | 6,0 | 8,0 | 9,0 |
| \(s'(t)\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{min}}\) | 0,50 | 0,90 | 1,20 | 1,10 | 0,70 | 0,20 |
| \(s''(t)\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{min}^{2}}\) | 0,25 | 0,15 | 0,00 | −0,15 | −0,25 | −0,25 |
- Erläutern Sie, was es bedeutet, wenn gleichzeitig \(s'(t)>0\) und \(s''(t)<0\) gilt.
- Bestimmen Sie mit Hilfe der Tabelle den Zeitpunkt der Höchstgeschwindigkeit und begründen Sie Ihre Wahl.
- Entscheiden Sie, ob der Bus im betrachteten Zeitraum jemals rückwärts fährt oder steht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Bus fährt vorwärts (\(s'>0\), der zurückgelegte Weg wächst), wird dabei aber langsamer (\(s''<0\), die Geschwindigkeit nimmt ab). Er bremst also ab, ohne stehen zu bleiben — laut Tabelle trifft das auf den Zeitraum ab \(t=6\) zu.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bei \(t=4\ \text{min}\) mit \(s'(4)=1{,}20\ \tfrac{\text{km}}{\text{min}}\) (also 72 km/h). Begründung: In der \(s''\)-Zeile steht bei \(t=4\) der Wert null, davor ist \(s''\) positiv, danach negativ. Die Geschwindigkeit nimmt also bis \(t=4\) zu und danach ab — dort liegt der Hochpunkt von \(s'\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nein. Alle Werte der \(s'\)-Zeile sind positiv, der kleinste ist \(s'(10)=0{,}20\ \tfrac{\text{km}}{\text{min}}\). Für ein Rückwärtsfahren müsste \(s'\) negativ, für einen Halt gleich null sein. Der Bus wird zwar deutlich langsamer, bleibt aber im gesamten Zeitraum in Vorwärtsbewegung — passend dazu wächst auch die \(s\)-Zeile durchgehend.
Welche Kurve ist die Ableitung?
AFB IIIMaterial M1 zeigt zwei Graphen I und II in einem gemeinsamen Koordinatensystem. Eine der beiden Funktionen ist die Ableitung der anderen.
- Entscheiden Sie, welche Kurve die Ableitung der anderen ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung mit zwei unabhängigen Argumenten.
- Geben Sie zu beiden Kurven einen möglichen Funktionsterm an und überprüfen Sie Ihre Entscheidung durch Ableiten.
- Beurteilen Sie die Aussage einer Schülerin: „Kurve II liegt an manchen Stellen unter der \(x\)-Achse, also fällt Kurve I dort ins Negative.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kurve II ist die Ableitung von Kurve I. Erstes Argument: Kurve II hat ihre Nullstellen bei \(x=-1\) und \(x=1\) — genau dort besitzt Kurve I ihren Hoch- bzw. Tiefpunkt, also waagerechte Tangenten. Zweites Argument: Für \(-1<x<1\) verläuft Kurve II unterhalb der \(x\)-Achse, und genau in diesem Bereich fällt Kurve I; außerhalb ist Kurve II positiv und Kurve I steigt.
Ein drittes Argument liefert der Grad: Beim Ableiten sinkt der Grad um eins — die kubische Kurve I kann nicht die Ableitung der quadratischen Kurve II sein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Kurve I: \(f(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}-x\); Kurve II: \(g(x)=x^{2}-1\).
Probe: \(f'(x)=\tfrac{1}{3}\cdot 3x^{2}-1=x^{2}-1=g(x)\). Die Entscheidung aus a) ist damit bestätigt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch — hier werden Funktionswert und Steigung verwechselt. Negative Werte von Kurve II bedeuten, dass Kurve I dort fällt, nicht dass sie negative Werte annimmt. Tatsächlich ist \(f(-0{,}5)=\tfrac{1}{3}\cdot(-0{,}125)+0{,}5\approx 0{,}46>0\), obwohl \(g(-0{,}5)=-0{,}75<0\) ist. Richtig wäre: Zwischen \(-1\) und \(1\) ist Kurve I streng monoton fallend.
Grenzkosten einer Getränkeabfüllung
AFB IIIDie Gesamtkosten einer Abfüllanlage werden durch \(K(x)=0{,}01x^{3}-0{,}6x^{2}+15x+100\) beschrieben; \(x\) ist die abgefüllte Menge in Hektolitern und \(K(x)\) sind die Kosten in Euro. Der Betriebsleiter behauptet: „Bei 20 hl produzieren wir am günstigsten — dort sind die Kosten am kleinsten.“
- Bestimmen Sie die Grenzkostenfunktion \(K'\) sowie \(K''\).
- Berechnen Sie die Menge, bei der die Grenzkosten minimal sind, und geben Sie diesen kleinsten Grenzkostenwert an.
- Beurteilen Sie die Behauptung des Betriebsleiters.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(K'(x)=0{,}03x^{2}-1{,}2x+15\) und \(K''(x)=0{,}06x-1{,}2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(K''(x)=0 \Leftrightarrow 0{,}06x=1{,}2 \Leftrightarrow x=20\); links davon ist \(K''<0\), rechts \(K''>0\), also liegt ein Tiefpunkt von \(K'\) vor.
\(K'(20)=0{,}03\cdot 400-24+15=12-24+15=3\). Die Grenzkosten sind bei 20 hl mit \(3\ \tfrac{€}{\text{hl}}\) am kleinsten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist falsch, sie verwechselt Kosten und Grenzkosten. Bei \(x=20\) gilt \(K'(20)=3\neq 0\) — die Kostenkurve hat dort keine waagerechte Tangente, sondern steigt weiter an. Tatsächlich ist \(K'(x)>0\) für alle \(x\ge 0\), denn die Parabel \(K'\) hat ihren Tiefpunkt bei \(3>0\) und damit keine Nullstelle; die Gesamtkosten wachsen also durchgehend.
Richtig ist: Bei 20 hl ist der Kostenanstieg am geringsten. Die Stelle ist der Wendepunkt der Kostenkurve — in der Betriebswirtschaft heißt sie Kostenkehre. Wer die Gesamtkosten minimieren will, produziert dagegen gar nichts; sinnvoll ist die Frage erst im Zusammenhang mit dem Erlös.