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3.1.1 · Interaktive Übungen

Übungen: Geraden und Steigung

Zehn interaktive Aufgaben zur Steigung linearer Funktionen — vom Ablesen der Steigung bis zur vollständigen Geradengleichung aus zwei Punkten.

ZurückZur ErklärungGeraden, Steigung und Vorzeichen der Änderungsrate
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben, geordnet nach Anforderungsbereichen: Zuerst liest du Steigung und y-Achsenabschnitt ab und rechnest einzelne Werte aus, in der Mitte stellst du Geradengleichungen auf und arbeitest im Koordinatensystem, und am Ende kombinierst du mehrere Schritte — bis hin zu einer Geraden mit unbekanntem Parameter. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

A1Steigung aus zwei PunktenAFB I

Eine Gerade verläuft durch \(P(2 \mid 1)\) und \(Q(6 \mid 9)\). Berechne ihre Steigung \(m\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Rechenweg: \(m=\dfrac{9-1}{6-2}=\dfrac{8}{4}=2\). Pro Schritt nach rechts geht der Graph 2 Einheiten nach oben.
A2Steigt, fällt oder bleibt gleich?AFB I

Entscheide für jede Funktionsgleichung, wie der Graph verläuft. Klicke in jeder Zeile genau eine Zelle an.

Klicke in jeder Zeile die Zelle an, die zutrifft. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.
Funktionsgleichungsteigtfälltbleibt gleich
f(x) = 3x − 1
f(x) = −0,5x + 4
f(x) = 2,5
f(x) = −4x
f(x) = 0,25x + 7
Nur das Vorzeichen von m entscheidet. Fehlt der x-Term ganz, ist m = 0 — der Graph ist waagerecht.
A3Die Fachbegriffe einsetzenAFB I

Setze die vier Begriffe an die richtigen Stellen im Text ein.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

In der Gleichung f(x) = m · x + n heißt die Zahl m die , die Zahl n der . Eine Gerade, die einen Graphen in zwei Punkten schneidet, nennt man . Der Bruch aus Höhenunterschied und waagerechtem Abstand trägt den Namen .

n ist der Funktionswert an der Stelle x = 0 — dort schneidet der Graph die y-Achse.
A4Rechenkette: Steigung Schritt für SchrittAFB II

Gesucht ist die Steigung der Geraden durch \(P(-3 \mid 4)\) und \(Q(5 \mid 0)\). Arbeite die Kette von oben nach unten ab. Achtung: Dezimalzahlen bitte mit Punkt eingeben, also 0.5 statt 0,5.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Δx = xQ − xP
  2. Δy = yQ − yP
  3. m = Δy : Δx
Immer in derselben Reihenfolge subtrahieren: erst beide x-Werte, dann beide y-Werte. Dreht man beide Differenzen um, kürzt sich das Minus wieder weg — m bleibt gleich.
A5Gleichung und Steigung verbindenAFB II

Verbinde jede Funktionsgleichung mit ihrer Steigung.

Klicke links einen Begriff an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die Steigung steht immer direkt vor dem x. Steht dort nichts, ist m = 1; steht dort nur ein Minus, ist m = −1.
A6Vorzeichen im SachzusammenhangAFB II

Ordne jede Situation dem passenden Vorzeichen der Änderungsrate zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1m > 0
2m < 0
3m = 0
Frage dich immer: Wird die Größe auf der y-Achse größer, kleiner oder bleibt sie gleich, wenn man auf der x-Achse nach rechts geht?
A7Nach Steigung sortierenAFB II

Bringe die fünf Geraden in die richtige Reihenfolge — von der am stärksten fallenden bis zur am stärksten steigenden.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1f(x) = −3x + 1
2f(x) = −0,5x
3f(x) = 0,25x + 2
4f(x) = 1,5x − 4
5f(x) = 4x
Sortiert wird nach dem Wert von m, nicht nach seinem Betrag: −3 ist kleiner als −0,5. Der y-Achsenabschnitt n spielt dabei keine Rolle.
A8Stimmt das über Geraden?AFB II

Fünf Aussagen, eine nach der anderen. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie — dann startest du neu.

Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Denke bei jeder Aussage an ein konkretes Beispiel — eine waagerechte und eine sehr steile Gerade.
A9Alles über eine GeradeAFB III

Eine Gerade verläuft durch \(A(-2 \mid 6)\) und \(B(4 \mid -3)\). Markiere alle zutreffenden Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Erst m bestimmen: \(m=\dfrac{-3-6}{4-(-2)}=\dfrac{-9}{6}=-1{,}5\). Dann einen der beiden Punkte in \(f(x)=-1{,}5x+n\) einsetzen und nach n auflösen.
A10Den y-Achsenabschnitt zurückrechnenAFB III

Eine Gerade hat die Steigung \(m = -0{,}75\) und geht durch den Punkt \(P(8 \mid 1)\). Bestimme ihren y-Achsenabschnitt \(n\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Ansatz \(f(x)=-0{,}75\,x+n\); Punkt einsetzen: \(1=-0{,}75\cdot 8+n=-6+n\), also \(n=7\).
A11Wertetabelle vervollständigenAFB I

Gegeben ist die Gerade \(f(x)=-1{,}5\,x+4\). Berechne die fünf Funktionswerte und trage sie ein.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
Stelle\(f(x)=-1{,}5x+4\)
\(x = −2\)
\(x = 0\)
\(x = 2\)
\(x = 4\)
\(x = 6\)
Immer erst multiplizieren, dann addieren: \(f(-2)=-1{,}5\cdot(-2)+4=3+4=7\), \(f(6)=-9+4=-5\). Von Zeile zu Zeile fällt der Wert um 3 — das sind zwei x-Schritte mal \(m=-1{,}5\).
A12Steigung als gekürzter BruchAFB I

Eine Gerade geht durch \(P(-4 \mid 7)\) und \(Q(6 \mid 1)\). Gib ihre Steigung als vollständig gekürzten Bruch an. Das Minuszeichen gehört in den Zähler.

Trage Zähler und Nenner ein — der Bruch soll vollständig gekürzt sein. Ein Minuszeichen gehört in den Zähler. Enter prüft.
\(\Delta y=1-7=-6\), \(\Delta x=6-(-4)=10\), also \(m=\dfrac{-6}{10}=-\dfrac{3}{5}\). Als Dezimalzahl wäre das \(-0{,}6\): Pro Schritt nach rechts fällt der Graph um 0,6 Einheiten.
A13Punkt mit vorgegebener Steigung setzenAFB II

Der Punkt \(P(-4 \mid 3)\) ist fest eingezeichnet. Setze einen Gitterpunkt \(Q\) so, dass die Gerade durch \(P\) und \(Q\) die Steigung \(m=-1{,}5\) hat. Es gibt mehrere richtige Lösungen.

Klicke in das Gitter, um \(Q\) zu setzen (die Punkte rasten ein). Tastatur: Tab ins Gitter, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt den Punkt.
xy−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−1123456P
Noch kein Punkt gesetzt.
Aus \(m=-1{,}5=\dfrac{-3}{2}\) folgt: zwei Schritte nach rechts, drei nach unten. Damit passen \(Q(-2 \mid 0)\), \(Q(0 \mid -3)\), \(Q(2 \mid -6)\) — und rückwärts auch \(Q(-6 \mid 6)\). Entscheidend ist nur das Verhältnis \(\Delta y:\Delta x=-3:2\).
A14Vier Kennzahlen einer GeradenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=0{,}8\,x-3{,}6\). Bestimme die vier gesuchten Zahlen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

y-Achsenabschnitt \(n\):   Nullstelle: \(x=\)
Funktionswert \(f(10)\):   Stelle mit \(f(x)=6\): \(x=\)

Der y-Achsenabschnitt steht ohne Rechnung da: \(n=-3{,}6\). Nullstelle: \(0{,}8x-3{,}6=0 \Rightarrow x=4{,}5\). Einsetzen: \(f(10)=8-3{,}6=4{,}4\). Rückwärts: \(0{,}8x-3{,}6=6 \Rightarrow 0{,}8x=9{,}6 \Rightarrow x=12\).
A15Geradengleichung aufstellenAFB II

Eine Gerade verläuft durch \(P(2 \mid -1)\) und \(Q(6 \mid 9)\). Gib den Funktionsterm \(f(x)\) an — in der Form \(m\cdot x+n\), ohne Klammern.

Gib den vereinfachten Term ein. Schreibweise: 2x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Erst die Steigung: \(m=\dfrac{9-(-1)}{6-2}=\dfrac{10}{4}=2{,}5\). Dann einen Punkt einsetzen: \(-1=2{,}5\cdot 2+n=5+n\), also \(n=-6\). Ergebnis: \(f(x)=2{,}5x-6\). Probe mit \(Q\): \(2{,}5\cdot 6-6=9\) ✓
A16Vier Punkte im KoordinatensystemAFB II

Eingezeichnet ist der Graph von \(f(x)=-0{,}5\,x+3\). Setze nacheinander die vier gesuchten Punkte. Rechne jeden Punkt vorher aus — geraten dauert länger.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

y-Achse: \(f(0)=3\). Nullstelle: \(-0{,}5x+3=0 \Rightarrow x=6\). \(f(-4)=2+3=5\). Und \(-0{,}5x+3=1 \Rightarrow -0{,}5x=-2 \Rightarrow x=4\).
A17Fehlersuche: Steigung durch zwei PunkteAFB II

Ein Schüler bestimmt die Gerade durch \(A(-2 \mid 5)\) und \(B(3 \mid -5)\). Zwei Zeilen sind falsch — finde sie.

Klicke genau die falschen Zeilen an — nach der Prüfung erscheint unter jeder falschen Zeile die Korrektur.
Merke dir die Reihenfolge: Wer bei \(\Delta x\) mit \(x_B\) beginnt, muss bei \(\Delta y\) auch mit \(y_B\) beginnen. Hier ist \(m=-2\) und mit \(A\): \(5=-2\cdot(-2)+n=4+n\), also \(n=1\).
A18Rechenkette: zwei Geraden schneiden sichAFB III

Gegeben sind \(g(x)=2x-5\) und \(h(x)=-0{,}5\,x+5\). Arbeite die Kette von oben nach unten ab. Dezimalzahlen darfst du mit Komma oder mit Punkt eingeben.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. x-Wert des Schnittpunkts
  2. y-Wert des Schnittpunkts
  3. Nullstelle von g
  4. Nullstelle von h
Gleichsetzen: \(2x-5=-0{,}5x+5 \Rightarrow 2{,}5x=10 \Rightarrow x=4\); eingesetzt \(g(4)=3\), also \(S(4\mid 3)\). Nullstellen: \(2x-5=0 \Rightarrow x=2{,}5\) und \(-0{,}5x+5=0 \Rightarrow x=10\).
A19Gerade durch zwei Punkte — drei AngabenAFB III

Die Gerade \(g\) verläuft durch \(A(-2 \mid 11)\) und \(B(4 \mid -1)\). Bestimme Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle.

Trage alle drei Werte ein und prüfe gemeinsam. Enter prüft ebenfalls.
\(m=\dfrac{-1-11}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2\). Mit \(A\): \(11=-2\cdot(-2)+n=4+n\), also \(n=7\). Nullstelle: \(-2x+7=0 \Rightarrow x=3{,}5\).
A20Der unbekannte ParameterAFB III

Die Gerade durch \(A(1 \mid t)\) und \(B(5 \mid 3t)\) hat die Steigung \(m=2\). Berechne \(t\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Steigung ansetzen: \(m=\dfrac{3t-t}{5-1}=\dfrac{2t}{4}=\dfrac{t}{2}\). Aus \(\dfrac{t}{2}=2\) folgt \(t=4\). Probe: \(A(1\mid 4)\), \(B(5\mid 12)\) und \(\dfrac{12-4}{4}=2\) ✓
Nächster SchrittZu den TextaufgabenSechs Sachaufgaben zur Steigung im Sachzusammenhang — mit Operatoren und Erwartungshorizont.