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3.1.1 · Textaufgaben

Textaufgaben: Steigung im Sachzusammenhang

Sechs Sachaufgaben zur Steigung — mit Operatoren, Teilaufgaben, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.

1

Wanderung im Harz

AFB I

Eine Wandergruppe startet um 9:00 Uhr am Parkplatz und legt gleichmäßig Strecke zurück. Das Diagramm in Material M1 zeigt die zurückgelegte Strecke \(s\) in Kilometern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden. Nach 4 Stunden hat die Gruppe 14 km geschafft.

M1Zeit-Weg-Diagramm der Wanderung
0 1 2 3 4 0 4 8 12 t in h s in km
  1. Nennen Sie die beiden Punkte, die Sie dem Diagramm für die Berechnung der Steigung entnehmen.
  2. Berechnen Sie die Wandergeschwindigkeit, also die Steigung des Graphen, in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).
  3. Erläutern Sie, wie sich die Einheit dieser Steigung aus den beiden Achsen ergibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Graph beginnt im Ursprung: Zum Startzeitpunkt hat die Gruppe noch keine Strecke zurückgelegt. Der zweite Punkt steht im Aufgabentext.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(0 \mid 0)\) und \(Q(4 \mid 14)\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie beide Punkte in \(m=\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}\) ein.Der Operator „Berechnen“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit — nicht nur die Zahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(m=\dfrac{s(4)-s(0)}{4-0}\). Rechnung: \(m=\dfrac{14\ \text{km}-0\ \text{km}}{4\ \text{h}-0\ \text{h}}=\dfrac{14}{4}=3{,}5\). Ergebnis: \(3{,}5\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) — ein normales Wandertempo.

Kontrolle: In einer halben Stunde wären das 1,75 km — das passt zum Diagramm.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Steigung ist ein Quotient. Schauen Sie nach, welche Einheit im Zähler und welche im Nenner steht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Einheit der Steigung ist stets die Einheit der Hochachse geteilt durch die Einheit der Rechtsachse, hier also \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\). Deshalb ist die Steigung eines Zeit-Weg-Graphen immer eine Geschwindigkeit.

2

Der Heißluftballon sinkt

AFB II

Ein Heißluftballon befindet sich um 15:00 Uhr in einer Höhe von 1 200 m. Der Pilot leitet den Sinkflug ein; um 15:25 Uhr zeigt das Höhenmessgerät 750 m an. Der Ballon sinkt dabei gleichmäßig.

  1. Geben Sie die Länge der betrachteten Zeitspanne an und nennen Sie die beiden Punkte, mit denen Sie rechnen.
  2. Berechnen Sie die Änderungsrate der Höhe in \(\tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).
  3. Erläutern Sie, welche Bedeutung das Vorzeichen des Ergebnisses im Sachzusammenhang hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Text nennt nur Uhrzeiten — daraus müssen Sie erst eine Zeitspanne machen. Wählen Sie die Zeit in Minuten als Rechtsachse und die Höhe in Metern als Hochachse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Von 15:00 Uhr bis 15:25 Uhr sind es 25 Minuten. Damit ist \(P(0 \mid 1200)\) und \(Q(25 \mid 750)\).

Hinweis zu Aufgabe b)
\(m=\dfrac{750\ \text{m}-1200\ \text{m}}{25\ \text{min}-0\ \text{min}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(m=\dfrac{f(25)-f(0)}{25-0}\). Rechnung: \(m=\dfrac{-450\ \text{m}}{25\ \text{min}}=-18\). Ergebnis: \(-18\ \tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Eine Größe, die kleiner wird, hat eine negative Änderungsrate.Das Vorzeichen ist Teil des Ergebnisses und keine Nebensache — es trägt die halbe Aussage.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Minuszeichen gehört zur Antwort: Der Ballon verliert pro Minute 18 Meter an Höhe. Ohne Vorzeichen wäre die Aussage falsch, denn sie würde einen Steigflug beschreiben.

3

Benzinverbrauch auf der Autobahn

AFB II

Bei Fahrtbeginn zeigt die Tankanzeige 52 Liter an. Nach 210 gefahrenen Kilometern sind noch 38,5 Liter im Tank. Der Verbrauch ist auf der ganzen Strecke gleichmäßig.

  1. Berechnen Sie die Änderungsrate des Tankinhalts in \(\tfrac{\ell}{\text{km}}\).
  2. Bestimmen Sie daraus den Verbrauch auf 100 km.
  3. Erläutern Sie, warum der Verbrauch im Alltag als positive Zahl angegeben wird, obwohl die Änderungsrate negativ ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Tragen Sie die gefahrene Strecke auf der Rechtsachse und den Tankinhalt auf der Hochachse ab: \(m=\dfrac{38{,}5\ \ell-52\ \ell}{210\ \text{km}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(m=\dfrac{38{,}5\ \ell-52\ \ell}{210\ \text{km}-0\ \text{km}}=\dfrac{-13{,}5\ \ell}{210\ \text{km}}\). Ergebnis: \(m\approx-0{,}0643\ \tfrac{\ell}{\text{km}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Multiplizieren Sie die Rate mit 100 km. Runden Sie erst am Schluss — der Zwischenwert \(13{,}5:210\) hat viele Nachkommastellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(-0{,}0643\ \tfrac{\ell}{\text{km}}\cdot 100\ \text{km}=-6{,}43\ \ell\). Der Verbrauch beträgt also rund \(6{,}4\) Liter je 100 km.

Hinweis zu Aufgabe c)
Fragen Sie sich, was der Alltagswert „Liter je 100 km“ misst: die Abnahme im Tank oder ihren Betrag?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Änderungsrate beschreibt den Tankinhalt, und der nimmt ab — deshalb ist sie negativ. Der Alltagswert „Verbrauch“ meint dagegen die verbrauchte Menge, also den Betrag dieser Abnahme. Beide Angaben beschreiben denselben Vorgang, nur aus unterschiedlicher Blickrichtung.

4

Carsharing: Grundgebühr und Kilometerpreis

AFB II

Ein Carsharing-Anbieter rechnet monatlich mit einer festen Grundgebühr und einem Preis je gefahrenem Kilometer ab. Wer im Monat gar nicht fährt, zahlt 12,00 €; bei 500 gefahrenen Kilometern werden 57,00 € fällig. Material M1 zeigt die zugehörige Kostengerade.

M1Monatskosten in Abhängigkeit von der Fahrstrecke
12 € 57 € 0 250 500 Fahrstrecke in km Kosten in €
  1. Geben Sie den \(y\)-Achsenabschnitt der Kostengeraden an und erläutern Sie seine Bedeutung im Sachzusammenhang.
  2. Berechnen Sie den Kilometerpreis, also die Steigung der Kostengeraden, in Euro je Kilometer.
  3. Begründen Sie, warum die Rechnung \(57:500\) hier einen falschen Kilometerpreis liefert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Überlegen Sie, welche Kosten schon bei \(x=0\) anfallen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(n=12\). Die Grundgebühr von 12,00 € fällt schon an, wenn kein einziger Kilometer gefahren wird — sie ist der Startwert der Kostengeraden.

Hinweis zu Aufgabe b)
Zweiter Punkt: \(Q(500 \mid 57)\). Also \(m=\dfrac{57\ €-12\ €}{500\ \text{km}-0\ \text{km}}\).Ziehen Sie die Grundgebühr ab, bevor Sie teilen — sonst rechnen Sie die feste Gebühr in den Kilometerpreis hinein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(m=\dfrac{57-12}{500-0}\). Rechnung: \(m=\dfrac{45}{500}=0{,}09\). Ergebnis: Jeder gefahrene Kilometer kostet 9 Cent, also \(0{,}09\ \tfrac{€}{\text{km}}\); die Kostengerade lautet \(f(x)=0{,}09x+12\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechnen Sie \(57:500\) einmal aus und vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrem Wert aus b).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(57:500=0{,}114\). Dabei werden die 12 € Grundgebühr auf die 500 km verteilt, obwohl sie gar nicht von der Fahrstrecke abhängen. Der Wert 0,114 € ist deshalb kein Kilometerpreis, sondern der mittlere Preis je Kilometer bei genau dieser einen Fahrleistung.

5

Deichbruch an der Elbe

AFB III

Nach einem Deichbruch steigt der Wasserstand im Hinterland gleichmäßig. Um 6:30 Uhr messen die Einsatzkräfte 42 cm, um 11:00 Uhr bereits 87 cm. Ab einem Wasserstand von 150 cm müssen die tiefer gelegenen Häuser geräumt werden.

  1. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die den Wasserstand in Zentimetern in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) in Stunden nach 6:30 Uhr beschreibt.
  2. Berechnen Sie, wie viele Stunden nach 6:30 Uhr die 150-cm-Marke erreicht ist.
  3. Geben Sie die zugehörige Uhrzeit an.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Startwert bei \(x=0\) ist bekannt, ein zweiter Punkt ebenfalls.Von 6:30 bis 11:00 Uhr sind es 4,5 Stunden — nicht 5.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(0 \mid 42)\), \(Q(4{,}5 \mid 87)\), also \(m=\dfrac{87-42}{4{,}5}=\dfrac{45}{4{,}5}=10\) und \(n=42\). Damit gilt \(f(x)=10x+42\) (Wasserstand in cm, \(x\) in Stunden nach 6:30 Uhr).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie Ihre Gleichung gleich 150 und lösen Sie nach \(x\) auf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(150=10x+42 \Rightarrow 108=10x \Rightarrow x=10{,}8\). Die Marke ist 10,8 Stunden nach 6:30 Uhr erreicht.

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechnen Sie den Nachkommaanteil der Stundenzahl in Minuten um: \(0{,}8\ \text{h}=48\ \text{min}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(10{,}8\ \text{h}=10\ \text{h}\ 48\ \text{min}\), also gegen 17:18 Uhr. Voraussetzung ist, dass der Anstieg wirklich gleichmäßig weitergeht — die Angabe ist eine Hochrechnung, keine Messung.

6

Zwei Handytarife im Vergleich

AFB III

Tarif A kostet 8,00 € Grundgebühr und 0,12 € je Gesprächsminute. Tarif B hat keine Grundgebühr, dafür kostet jede Minute 0,28 €.

  1. Bestimmen Sie für beide Tarife je eine Gleichung für die Monatskosten in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer \(x\) in Minuten.
  2. Berechnen Sie die Gesprächsdauer, bei der beide Tarife gleich teuer sind.
  3. Entscheiden Sie, ab welcher vollen Minute Tarif A günstiger ist, und begründen Sie Ihre Antwort mit den beiden Steigungen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Grundgebühr ist jeweils der \(y\)-Achsenabschnitt, der Minutenpreis die Steigung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f_A(x)=0{,}12x+8\) und \(f_B(x)=0{,}28x\), jeweils die Monatskosten in Euro.

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie beide Terme gleich: \(0{,}12x+8=0{,}28x\).Der Schnittpunkt beider Geraden ist genau die Grenze, an der der günstigere Tarif wechselt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}12x+8=0{,}28x \Rightarrow 8=0{,}16x \Rightarrow x=50\). Bei genau 50 Gesprächsminuten kosten beide Tarife 14,00 €.

Hinweis zu Aufgabe c)
Bei der Schnittstelle selbst sind beide gleich teuer — gefragt ist die erste Minute danach.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ab der 51. Minute ist Tarif A günstiger. Begründung: Die Gerade von A ist mit \(m_A=0{,}12\) flacher als die von B mit \(m_B=0{,}28\). Rechts vom Schnittpunkt wächst B deshalb schneller und liegt oberhalb von A.