Übungsaufgaben
Die Aufgaben sind nach Anforderungsbereichen geordnet. Die ersten fünf sichern die Regeln und die Grundableitungen ab. In der Mitte wird gerechnet: Ableitungsterme bilden, Werte einsetzen, Brüche vorher kürzen, Fehler in fremden Rechnungen finden. Die letzten fünf Aufgaben verlangen mehr als das Anwenden einer Regel — dort werden Klammern ausmultipliziert, Parameter bestimmt und aus einer Ableitung wird auf die Funktion zurückgeschlossen. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.
Vier Begriffe, sechs Lücken: Setze den Merksatz zu den Ableitungsregeln vollständig zusammen.
Steht vor einer Funktion ein konstanter , so bleibt er beim Ableiten : Aus \(f(x)=k\cdot u(x)\) wird \(f'(x)=k\cdot u'(x)\). Besteht ein Term aus mehreren Summanden, so wird jeder abgeleitet und die Ergebnisse werden wieder addiert. Ein konstanter Summand \(b\) hat die Ableitung , denn er verschiebt den Graphen nur nach oben oder unten und ändert an keiner Stelle die Steigung. Brüche und Wurzeln werden vor dem Ableiten in umgeschrieben.
Leiten Sie jede Funktion ab und tragen Sie den Term von \(f'(x)\) ein. Schreibweise: 12x^3, Malzeichen darf entfallen.
^, Minuszeichen direkt vor die Zahl. Enter prüft die ganze Tabelle.| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(3x^{4}\) | |
| \(-2x^{5}\) | |
| \(7x\) | |
| \(-4\) | |
| \(\tfrac{1}{2}x^{2}\) | |
| \(-x^{3}\) |
Ordnen Sie jede Funktion danach ein, wie ihre Ableitung aussieht — bevor Sie sie vollständig hinschreiben.
Bringen Sie die fünf Schritte in die Reihenfolge, in der man einen zusammengesetzten Term ableitet.
Fünf Aussagen zu den Regeln — eine falsche Einschätzung beendet die Serie.
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^{4}-3x^{2}+7\).
Berechnen Sie \(f'(-2)\).
\(f(x)=\tfrac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+\dfrac{5}{x}\)
Bestimmen Sie den Term der Ableitung \(f'\).
2x^3-9x^2-5/x^2, Potenzen mit ^, Brüche mit /. Enter prüft.\(f(x)=\dfrac{6x^{5}-4x^{3}}{2x^{2}}\)
Vereinfachen Sie zuerst und leiten Sie dann ab.
- Nach dem Kürzen hat \(f\) die Form \(f(x)=a\,x^{3}+b\,x\). Welchen Wert hat \(a\)?
- Welchen Wert hat \(b\)?
- Die Ableitung hat die Form \(f'(x)=c\,x^{2}+d\). Welchen Wert hat \(c\)?
- Wie groß ist \(f'(1)\)?
Verbinden Sie jede Funktion mit ihrer Ableitung. Achtung: Ein Term kommt in beiden Spalten vor.
\(f(x)=\tfrac{1}{2}x^{4}-2x^{2}\)
Berechnen Sie die fünf Ableitungswerte.
| \(x\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(-2\) | |
| \(-1\) | |
| \(0\) | |
| \(1\) | |
| \(2\) |
\(g(x)=x^{2}+5\)
Wählen Sie alle Funktionen aus, die dieselbe Ableitung wie \(g\) haben.
Bestimmen Sie für jede Funktion die Ableitung und setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze.
| \(f'(0)=0\) | \(f'\) ist konstant | \(f'\) hat den Grad 2 | \(f'(1)=3\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=x^{3}\) | ||||
| \(f(x)=3x+1\) | ||||
| \(f(x)=x^{2}+x\) | ||||
| \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x\) | ||||
| \(f(x)=-2x^{4}\) |
Drei der sieben Zeilen enthalten einen Fehler. Klicken Sie genau diese Zeilen an.
\(f(x)=2x^{4}-3x^{2}+x\)
Bestimmen Sie \(f'\), \(f''\) und \(f'''\).
8x^3-6x+1. Enter prüft alle Felder auf einmal.\(f(x)=x^{3}-12x\)
Bestimmen Sie die positive Stelle, an der der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente hat.
\(f(x)=(2x+3)^{2}\)
Bestimmen Sie \(f'(x)\). Die Klammer muss dafür zuerst ausmultipliziert werden.
Drei der sechs Zeilen sind falsch. Markieren Sie diese Zeilen und tragen Sie jeweils die richtige Ableitung ein.
-3/x^2, Wurzeln als sqrt(x).Für \(f(x)=a\,x^{3}+2x\) gilt \(f'(1)=11\).
Bestimmen Sie den Wert von \(a\).
Für \(f(x)=a\,x^{3}+b\,x\) gilt \(f'(1)=0\) und \(f'(2)=9\).
Bestimmen Sie \(a\) und \(b\).
- Es ist \(f'(x)=3a\,x^{2}+b\). Aus \(f'(1)=0\) folgt \(3a+b=0\), also \(b=k\cdot a\). Welchen Wert hat \(k\)?
- Setze das in \(f'(2)=12a+b=9\) ein. Welchen Wert hat \(a\)?
- Welchen Wert hat \(b\)?
- Wie groß ist damit \(f'(0)\)?
Gesucht ist eine Funktion \(f\) mit \(f'(x)=6x^{2}-4x\), deren Graph durch den Ursprung verläuft.
Geben Sie den Term von \(f(x)\) an.