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3.4.1 · Textaufgaben

Textaufgaben: Summen- und Faktorregel

Fünf Sachaufgaben zu Summen-, Faktor- und Potenzregel — mit Operatoren, Teilaufgaben, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.

1

Produktionskosten einer Schreinerei

AFB I

Die Gesamtkosten einer Schreinerei werden durch \(K(x)=0{,}1x^{3}-3x^{2}+40x+200\) beschrieben; \(x\) ist die Zahl der gefertigten Stühle und \(K(x)\) sind die Kosten in Euro. Die Ableitung \(K'\) heißt in der Wirtschaft Grenzkostenfunktion.

  1. Bestimmen Sie \(K'(x)\) mit Summen- und Faktorregel.
  2. Berechnen Sie \(K'(10)\) und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
  3. Erläutern Sie, warum der Summand \(200\) in \(K'\) nicht mehr auftaucht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Leiten Sie jeden Summanden einzeln ab; konstante Faktoren bleiben stehen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(K'(x)=0{,}1\cdot 3x^{2}-3\cdot 2x+40=0{,}3x^{2}-6x+40\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie \(x=10\) ein. Die Einheit ist Euro je Stuhl.Grenzkosten sagen, was der nächste Stuhl ungefähr kostet — nicht, was zehn Stühle insgesamt kosten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(K'(10)=0{,}3\cdot 100-60+40=30-60+40=10\), also \(10\ \tfrac{€}{\text{Stuhl}}\). Deutung: Sind bereits zehn Stühle in Arbeit, so verursacht der nächste Stuhl zusätzliche Kosten von etwa 10 Euro.

Hinweis zu Aufgabe c)
Überlegen Sie, welche Steigung der Graph einer konstanten Funktion hat, und was die 200 € betriebswirtschaftlich sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die 200 € sind Fixkosten: Sie fallen unabhängig von der Stückzahl an. Als konstanter Summand verschiebt \(200\) den Graphen von \(K\) nur nach oben, ohne seine Steigung zu verändern. Die Ableitung einer konstanten Funktion ist null, deshalb verschwindet der Summand beim Ableiten. Fixkosten beeinflussen also die Gesamtkosten, nicht aber die Grenzkosten.

2

Wirkstoff im Blut

AFB II

Nach der Einnahme eines Medikaments wird die Konzentration des Wirkstoffs im Blut durch \(c(t)=0{,}25t^{3}-3t^{2}+9t\) beschrieben; \(t\) ist die Zeit in Stunden mit \(0\le t\le 6\) und \(c(t)\) die Konzentration in \(\tfrac{\text{mg}}{\ell}\) (Material M1).

M1Konzentration des Wirkstoffs im Blut
waagerechte Tangente 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 t in Stunden c in mg/l
Nach sechs Stunden ist der Wirkstoff vollständig abgebaut.
  1. Bestimmen Sie \(c'(t)\).
  2. Berechnen Sie die Zeitpunkte mit \(c'(t)=0\) und deuten Sie beide im Sachzusammenhang.
  3. Berechnen Sie \(c'(1)\) und \(c'(4)\) und vergleichen Sie die beiden Werte.
Hinweis zu Aufgabe a)
Summen- und Faktorregel auf alle drei Summanden anwenden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(c'(t)=0{,}75t^{2}-6t+9\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Klammern Sie \(0{,}75\) aus und lösen Sie die entstehende quadratische Gleichung.Beachten Sie den Definitionsbereich: Nur Zeitpunkte mit \(0\le t\le 6\) sind sinnvoll.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}75t^{2}-6t+9=0 \Leftrightarrow t^{2}-8t+12=0 \Leftrightarrow t_{1{,}2}=4\pm\sqrt{16-12}=4\pm 2\), also \(t_1=2\) und \(t_2=6\).

Deutung: Bei \(t=2\) ist die Konzentration mit \(c(2)=2-12+18=8\ \tfrac{\text{mg}}{\ell}\) am größten — der Wirkstoffspiegel ändert sich dort momentan nicht mehr. Bei \(t=6\) endet der Abbau; die Konzentration hat mit \(c(6)=54-108+54=0\) den Wert null erreicht und ändert sich ebenfalls nicht mehr.

Hinweis zu Aufgabe c)
Achten Sie auf die Vorzeichen und formulieren Sie zu beiden Werten je einen Satz mit Einheit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(c'(1)=0{,}75-6+9=3{,}75\ \tfrac{\text{mg}}{\ell\cdot\text{h}}\) und \(c'(4)=12-24+9=-3\ \tfrac{\text{mg}}{\ell\cdot\text{h}}\).

Vergleich: Eine Stunde nach der Einnahme steigt die Konzentration mit 3,75 Einheiten je Stunde an, nach vier Stunden fällt sie mit 3 Einheiten je Stunde ab. Der Anstieg zu Beginn ist also etwas schneller als der spätere Abbau — das passt zum Verlauf in M1, der links vom Hochpunkt steiler ist als rechts davon.

3

Zwei Solarparks unterschiedlicher Größe

AFB II

Ein kleiner Solarpark A liefert an einem Sommertag die Energie \(E_A(t)=-0{,}5t^{2}+6t\) (in MWh), gemessen ab 6 Uhr morgens mit \(t\) in Stunden, \(0\le t\le 12\). Ein zweiter Park B ist baugleich, aber dreimal so groß; für ihn gilt \(E_B(t)=3\cdot E_A(t)\).

  1. Bestimmen Sie \(E_A'(t)\) und \(E_B'(t)\).
  2. Berechnen Sie beide Änderungsraten zum Zeitpunkt \(t=2\) und vergleichen Sie sie.
  3. Begründen Sie mit der Faktorregel, warum beide Parks ihre größte Leistung zum selben Zeitpunkt erreichen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Schreiben Sie \(E_B(t)=3\big(-0{,}5t^{2}+6t\big)=-1{,}5t^{2}+18t\) — oder wenden Sie direkt die Faktorregel an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E_A'(t)=-t+6\) und \(E_B'(t)=3\cdot E_A'(t)=-3t+18\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Einheit der Änderungsrate ist \(\tfrac{\text{MWh}}{\text{h}}\), also MW — sie beschreibt die momentane Leistung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(E_A'(2)=4\ \text{MW}\) und \(E_B'(2)=12\ \text{MW}\). Park B liefert um 8 Uhr genau die dreifache Leistung von Park A — dasselbe Verhältnis wie bei den Energiemengen selbst.

Hinweis zu Aufgabe c)
Der größte Wert der Leistung liegt dort, wo die Änderungsrate null wird. Überlegen Sie, was der Faktor 3 an einer Nullstelle bewirkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nach der Faktorregel gilt \(E_B'(t)=3\cdot E_A'(t)\). Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist; da \(3\neq 0\), gilt \(E_B'(t)=0\) genau dann, wenn \(E_A'(t)=0\). Beide Ableitungen haben also dieselben Nullstellen — hier \(t=6\), also 12 Uhr mittags. Der Faktor 3 streckt den Graphen nur in \(y\)-Richtung; die Lage der Extremstellen bleibt davon unberührt.

4

Fehlersuche in einer Schülerlösung

AFB III

Material M1 zeigt die Notiz einer Schülerin, die \(f(x)=4x^{3}-2x^{2}+7x-5\) ableiten und anschließend \(f'(2)\) berechnen wollte.

M1Notiz aus einem Schülerheft
\(f(x)=4x^{3}-2x^{2}+7x-5\)
\(f'(x)=12x^{2}-4x^{2}+7x-5\)
\(f'(2)=48-16+14-5=41\)
Zwei der drei Zeilen enthalten Fehler.
  1. Überprüfen Sie die Notiz und nennen Sie alle Fehler.
  2. Bestimmen Sie die korrekte Ableitung und berechnen Sie \(f'(2)\).
  3. Begründen Sie mit der Summenregel, warum beim Ableiten jeder Summand einzeln behandelt werden darf.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gehen Sie Summand für Summand vor und prüfen Sie jeweils Exponent und Faktor.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Erster Fehler: Aus \(-2x^{2}\) wurde \(-4x^{2}\) statt \(-4x\) — der Exponent wurde nicht um 1 verringert.

Zweiter Fehler: Der Summand \(7x\) wurde unverändert übernommen; richtig ist \(7\). Dritter Fehler: Die Konstante \(-5\) wurde mitgeschleppt; ihre Ableitung ist \(0\). Der Faktor bei \(x^{3}\) ist dagegen korrekt: \(4\cdot 3=12\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Denken Sie an die Ableitung von \(7x\) und an die des konstanten Summanden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'(x)=12x^{2}-4x+7\). Damit ist \(f'(2)=12\cdot 4-8+7=48-8+7=47\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Summenregel lautet \((u+v)'=u'+v'\). Überlegen Sie, was das für einen Term mit vier Summanden bedeutet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Summenregel besagt \((u+v)'=u'+v'\): Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Wendet man sie mehrfach an, gilt sie auch für vier Summanden. Deshalb darf jeder Term für sich abgeleitet werden — und deshalb wirkt sich ein Fehler bei einem Summanden nicht auf die anderen aus. Für Produkte oder Quotienten gilt eine solche Regel dagegen nicht.

5

Eine Kurve nach Vorgaben bauen

AFB III

Für den geplanten Übergang zwischen zwei Bahngleisen wird die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx\) verwendet; \(a\) und \(b\) sind reelle Parameter. Die Trasse soll an der Stelle \(x=1\) eine waagerechte Tangente besitzen, und im Ursprung soll die Steigung \(-3\) betragen.

  1. Bestimmen Sie \(f'(x)\) in Abhängigkeit von \(a\) und \(b\).
  2. Berechnen Sie \(a\) und \(b\) aus den beiden Bedingungen.
  3. Überprüfen Sie, ob der Graph noch eine zweite waagerechte Tangente besitzt, und begründen Sie Ihr Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Parameter \(a\) und \(b\) sind konstante Faktoren und bleiben beim Ableiten stehen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f'(x)=3x^{2}+2ax+b\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Übersetzen Sie die beiden Bedingungen in Gleichungen: „waagerechte Tangente bei \(x=1\)“ heißt \(f'(1)=0\), „Steigung \(-3\) im Ursprung“ heißt \(f'(0)=-3\).Die zweite Bedingung liefert \(b\) sofort — setzen Sie sie zuerst ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus \(f'(0)=-3\) folgt \(b=-3\). Eingesetzt in \(f'(1)=0\): \(3+2a-3=0 \Rightarrow 2a=0 \Rightarrow a=0\).

Ergebnis: \(a=0\) und \(b=-3\), die Trasse wird also durch \(f(x)=x^{3}-3x\) mit \(f'(x)=3x^{2}-3\) beschrieben.

Hinweis zu Aufgabe c)
Setzen Sie Ihre Werte in \(f'\) ein und bestimmen Sie alle Nullstellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^{2}-3=0 \Leftrightarrow x^{2}=1 \Leftrightarrow x=1\) oder \(x=-1\). Es gibt also eine zweite waagerechte Tangente, nämlich bei \(x=-1\).

Begründung: \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel ohne lineares Glied, ihr Scheitel liegt auf der \(y\)-Achse. Ihre Nullstellen liegen daher stets symmetrisch zum Ursprung — verlangt man eine bei \(x=1\), so ergibt sich die zweite bei \(x=-1\) zwangsläufig. Für die Planung heißt das: Die Trasse hat auch links vom Ursprung eine waagerechte Stelle, was bei der Streckenführung berücksichtigt werden muss.