Ableitung von Sinus/Cosinus: Übungen – Mathe Klasse 11

ZurückZur ErklärungWaagerechte Tangenten, der Satz sin′ = cos und der Ableitungskreislauf

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Übungsaufgaben

Zuerst geht es um den Satz selbst und um den Kreislauf, der sich nach vier Ableitungen schließt. Danach wird gerechnet: Ableitungswerte an festen Stellen im Bogenmaß, Terme mit Faktoren und Summanden, gemischte Funktionen aus Potenzen und Sinus. Am Ende stehen Aufgaben, in denen rückwärts gedacht wird — von einer geforderten Steigung zur Stelle und von der Nummer der Ableitung zum Term. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

A1Der Satz in eigenen WortenAFB I

Sechs Lücken: Setzen Sie die Kernaussagen des Kapitels zusammen.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Sinusfunktion hat die Ableitung , die Kosinusfunktion die Ableitung . Beide Sätze gelten nur, wenn die Stellen im angegeben sind. An jedem und an jedem Tiefpunkt verläuft die Tangente waagerecht — dort hat die Ableitung den Wert . Und nach Ableitungen steht wieder die Ausgangsfunktion da.

Das Minuszeichen beim Kosinus ist der einzige Unterschied zwischen den beiden Sätzen — und die häufigste Fehlerquelle. Der Viererzyklus folgt direkt daraus.

A2Funktion und Ableitung als MemoryAFB I

Sechs Paare, zwölf Karten: Finden Sie zu jeder Funktion ihre Ableitung.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.

Achten Sie auf das kleine Zeichen vor der Karte: \(\cos(x)\) kommt einmal als Funktion und einmal als Ableitung vor. Genau deshalb schließt sich der Kreis nach vier Schritten.

A3Welches Vorzeichen hat die Steigung bei 0?AFB I

Ordnen Sie jede Funktion danach ein, welches Vorzeichen \(f'(0)\) hat.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1\(f'(0)>0\)

2\(f'(0)=0\)

3\(f'(0)<0\)

Jede Kosinusfunktion hat bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente, denn \(-\sin(0)=0\). Bei \(\sin(x)-2x\) ist \(f'(0)=\cos(0)-2=-1\) — der lineare Summand kippt das Vorzeichen.

A4Fünf Aussagen zum SatzAFB I

Eine falsche Einschätzung beendet die Serie.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Fallen: das Gradmaß und die Verwechslung von Funktionswert und Steigung. Bei \(x=\tfrac{\pi}{2}\) ist \(\sin=1\), aber \(\sin'=0\).

A5Der Kreislauf in der richtigen ReihenfolgeAFB I

Bringen Sie die fünf Zeilen des Ableitungskreislaufs in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1f(x) = sin(x) — die Ausgangsfunktion

2f′(x) = cos(x)

3f″(x) = −sin(x)

4f‴(x) = −cos(x)

5f⁗(x) = sin(x) — der Kreis schließt sich

Nach vier Schritten ist man wieder am Anfang. Deshalb genügt es, die Zahl der Ableitungen durch 4 zu teilen und nur den Rest zu betrachten.

A6Viermal ableitenAFB II

\(f(x)=\sin(x)\)

Bestimmen Sie die ersten vier Ableitungen.

Schreibweise: cos(x), -sin(x). Enter prüft alle Felder auf einmal.

\(f'(x)=\)\(f''(x)=\)\(f'''(x)=\)\(f''''(x)=\)

Der Zyklus lautet \(\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos\to\sin\). Die zweite Ableitung ist die Gegenfunktion: \(f''=-f\) — das gilt für Sinus und Kosinus gleichermaßen.

A7Ableitungswerte an vier StellenAFB II

\(f(x)=\sin(x)\) und \(g(x)=\cos(x)\)

Berechnen Sie die acht Werte. Alle Stellen sind im Bogenmaß angegeben.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Negative Zahlen mit Minuszeichen. Enter prüft ebenfalls.

\(x_{0}\)	\(f'(x_{0})\)	\(g'(x_{0})\)
\(0\)
\(\tfrac{\pi}{2}\)
\(\pi\)
\(\tfrac{3\pi}{2}\)

Es ist \(f'(x)=\cos(x)\) und \(g'(x)=-\sin(x)\). Überall dort, wo eine Kurve einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, steht in ihrer Ableitungsspalte eine 0 — und wo sie die \(x\)-Achse schneidet, steht \(\pm1\).

A8Ein Wert mit dem KosinusAFB II

\(f(x)=\sin(x)\)

Berechnen Sie \(f'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\) als exakten Wert (Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen genügt).

Zuerst die Ableitung bestimmen, dann die Stelle einsetzen — Bogenmaß nicht vergessen. Enter prüft.

Es ist \(f'(x)=\cos(x)\), also \(f'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac12\). Wer den Rechner im Gradmodus stehen lässt, erhält \(\cos(1{,}047^{\circ})\approx1\) — ein Wert, der zu einer fast waagerechten Tangente passen würde.

A9Faktor- und Summenregel mit SinusAFB II

\(f(x)=4\sin(x)-3\cos(x)\)

Bestimmen Sie \(f'(x)\).

Schreibweise: 4cos(x)+3sin(x). Höchstens zwei Summanden. Enter prüft.

Der erste Summand liefert \(4\cos(x)\). Beim zweiten treffen zwei Minuszeichen aufeinander: \(-3\cdot(-\sin(x))=+3\sin(x)\). Ergebnis: \(f'(x)=4\cos(x)+3\sin(x)\).

A10Potenz und Kosinus gemischtAFB III

\(f(x)=2x^{3}+5\cos(x)-7\)

Bestimmen Sie \(f'(x)\).

Alle drei Summanden einzeln ableiten. Schreibweise: 6x^2-5sin(x). Enter prüft.

\(2x^{3}\Rightarrow6x^{2}\), \(5\cos(x)\Rightarrow-5\sin(x)\), und die \(-7\) verschwindet. Also \(f'(x)=6x^{2}-5\sin(x)\) — Potenzregel und trigonometrische Ableitung in einem Term.

A11Wo ist die Tangente bei 0 waagerecht?AFB II

Wählen Sie alle Funktionen aus, deren Graph an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente hat.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

Bei allen reinen Kosinusfunktionen ist \(f'(0)=-\sin(0)=0\) — unabhängig vom Faktor davor. Der Summand \(+x\) addiert überall die Steigung 1 und zerstört die waagerechte Tangente.

A12Vier Funktionen, vier EigenschaftenAFB II

Setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.

	\(f'(0)=1\)	\(f'(0)=0\)	\(f''=-f\)	Hochpunkt bei \(x=0\)
\(f(x)=\sin(x)\)
\(f(x)=\cos(x)\)
\(f(x)=-\sin(x)\)
\(f(x)=-\cos(x)\)

Die dritte Spalte trifft auf alle vier zu: Zweimaliges Ableiten liefert stets die Gegenfunktion. Bei \(-\cos(x)\) ist die Tangente bei 0 zwar waagerecht, dort liegt aber ein Tiefpunkt.

A13Sinus und Kosinus zusammenAFB II

\(f(x)=\sin(x)+\cos(x)\)

Untersuchen Sie die Ableitung schrittweise.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Runde auf drei Nachkommastellen, wo nötig. Enter prüft.

Wie lautet \(f'(0)\)?
Wie lautet \(f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\)?
Für welche Stelle \(x\) zwischen 0 und \(\pi\) gilt \(f'(x)=0\)? (Zahlenwert)
Welchen Funktionswert \(f(x)\) hat die Funktion an dieser Stelle?

Es ist \(f'(x)=\cos(x)-\sin(x)\). Die Ableitung ist null, wenn \(\cos(x)=\sin(x)\) gilt — also bei \(x=\tfrac{\pi}{4}\approx0{,}785\). Dort liegt der Hochpunkt mit dem Wert \(\sqrt2\approx1{,}414\).

A14Die hundertste AbleitungAFB III

\(f(x)=\sin(x)\)

Geben Sie den Term der 100. Ableitung an.

Nutze den Viererzyklus: Teile 100 durch 4 und schau auf den Rest. Schreibweise: sin(x), -cos(x). Enter prüft.

100 ist durch 4 teilbar, der Rest ist 0 — also steht wieder die Ausgangsfunktion da: \(f^{(100)}(x)=\sin(x)\). Für die 101. Ableitung wäre es \(\cos(x)\), für die 102. \(-\sin(x)\). So lässt sich jede noch so hohe Ableitung in einem Schritt bestimmen.

A15Am Sinusgraphen klickenAFB III

Der Graph zeigt \(f(x)=\sin(x)\) über einer vollen Periode. Fünf Punkte sind markiert.

Klicken Sie nacheinander die gesuchten Punkte an.

Klicke den jeweils gefragten Punkt an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Die Ableitung \(\cos(x)\) ist genau dort null, wo der Sinus einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, und erreicht ihre Extremwerte \(\pm1\) dort, wo der Sinus die \(x\)-Achse schneidet: \(+1\) bei \(0\) und \(2\pi\), \(-1\) bei \(\pi\).

A16Sieben Zeilen, drei FehlerAFB II

Klicken Sie genau die falschen Zeilen an.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler sind Vorzeichenfehler — und jeder von ihnen entsteht an einer anderen Stelle des Viererzyklus.

A17Markieren und berichtigenAFB III

Drei der sechs Zeilen sind falsch. Markieren Sie diese und tragen Sie die richtige Ableitung ein.

Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Schreibweise: -5sin(x). Geprüft wird beides: Auswahl und Korrekturen.

Drei Vorzeichenfehler: Beim Kosinus entsteht immer ein Minus, beim \(-\sin(x)\) bleibt das Minus erhalten, und in Zeile 6 wurde das Minus des Kosinus schlicht unterschlagen.

A18Schritt für Schritt durch einen gemischten TermAFB II

\(f(x)=-2\cos(x)+x^{2}\)

Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Eine falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Der kritische Schritt ist der vierte: Das Minus des Faktors und das Minus aus der Kosinus-Ableitung heben sich gegenseitig auf. Ergebnis: \(f'(x)=2\sin(x)+2x\).

A19Drei Angaben zu einer gemischten FunktionAFB III

\(f(x)=3\sin(x)+2x^{2}\)

Bestimmen Sie \(f'(x)\), den Wert \(f'(0)\) und \(f''(x)\).

Felder 1 und 3 erwarten Terme, Feld 2 eine Zahl. Enter prüft alle Felder auf einmal.

\(f'(x)=\)\(f'(0)=\)\(f''(x)=\)

Es ist \(f'(x)=3\cos(x)+4x\), also \(f'(0)=3\cdot1+0=3\). Nochmals ableiten: \(3\cos(x)\Rightarrow-3\sin(x)\) und \(4x\Rightarrow4\), zusammen \(f''(x)=-3\sin(x)+4\).

A20Die erste waagerechte Tangente des KosinusAFB III

\(f(x)=\cos(x)\)

Bestimmen Sie die kleinste positive Stelle, an der der Graph eine waagerechte Tangente hat (Zahlenwert, zwei Nachkommastellen).

Setze \(f'(x)=0\) an und überlege, wo der Sinus seine Nullstellen hat. Enter prüft.

Aus \(f'(x)=-\sin(x)=0\) folgt \(\sin(x)=0\), also \(x=0,\ \pi,\ 2\pi,\dots\) Die kleinste positive Lösung ist \(x=\pi\approx3{,}14\) — dort liegt der Tiefpunkt des Kosinusgraphen. Bei \(x=0\) ist die Tangente ebenfalls waagerecht, diese Stelle ist aber nicht positiv.

Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zu Schwingungen und dem Ableitungskreislauf — mit Operatoren und Erwartungshorizont.WeiterZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel der Differenzialrechnung auf einen Blick.

Übungen: Sinus und Cosinus ableiten

Übungsaufgaben