Textaufgaben: Ableitung von Sinus und Cosinus

\(s'(t)=2\cos(t)\).

\(s'(0)=2\cos(0)=2\), also \(2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Deutung: Beim Durchgang durch die Ruhelage ist die Schaukel am schnellsten — sie bewegt sich dort mit 2 Metern je Sekunde.

\(2\cos(t)=0 \Leftrightarrow \cos(t)=0 \Leftrightarrow t=\tfrac{\pi}{2}\) oder \(t=\tfrac{3\pi}{2}\).

Bedeutung: Das sind die beiden Umkehrpunkte mit den Auslenkungen \(s\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2\ \text{m}\) und \(s\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-2\ \text{m}\). Dort steht die Schaukel für einen Augenblick still, die Geschwindigkeit ist null und die Bewegungsrichtung kehrt sich um.

\(y'(t)=0{,}3\cdot\big(-\sin(t)\big)=-0{,}3\sin(t)\) und \(y''(t)=-0{,}3\cdot\cos(t)=-0{,}3\cos(t)\).

Es ist \(y''(t)=-0{,}3\cos(t)\) und \(-y(t)=-0{,}3\cos(t)\). Beide Terme stimmen für jedes \(t\) überein, also gilt \(y''(t)=-y(t)\).

Die Beschleunigung ist in jedem Augenblick proportional zur Auslenkung und ihr entgegengerichtet: Je weiter das Gewicht aus der Ruhelage ausgelenkt ist, desto stärker wird es zurückgezogen; in der Ruhelage (\(y=0\)) wirkt keine rücktreibende Beschleunigung, dafür ist dort die Geschwindigkeit maximal. Genau das ist die Kennzeichnung einer harmonischen Schwingung — und der Grund, warum Sinus und Cosinus Schwingungen so gut beschreiben.

\(f''(x)=-\sin x\), \(f'''(x)=-\cos x\) und \(f^{(4)}(x)=\sin x\). Nach vier Schritten steht wieder der Ausgangsterm da.

\(2026=4\cdot 506+2\), der Rest ist also 2. Damit ist die 2026-te Ableitung dieselbe wie die zweite: \(f^{(2026)}(x)=-\sin x\).

Wegen \(f^{(4)}=f\) wiederholen sich die Ableitungen mit der Periode 4: Für jedes \(k\in\mathbb{N}\) gilt \(f^{(n+4k)}=f^{(n)}\). Um \(f^{(n)}\) zu bestimmen, genügt daher der Rest von \(n\) bei Division durch 4 — Rest 0 liefert \(\sin x\), Rest 1 \(\cos x\), Rest 2 \(-\sin x\) und Rest 3 \(-\cos x\).

\(u'(t)=325\cos(t)\); die Einheit ist Volt je Sekunde, also \(\tfrac{\text{V}}{\text{s}}\).

Wegen \(-1\le\cos t\le 1\) gilt \(|u'(t)|\le 325\). Der größte Betrag \(325\ \tfrac{\text{V}}{\text{s}}\) wird bei \(|\cos t|=1\) erreicht, also bei \(t=0\), \(t=\pi\) und \(t=2\pi\) — genau in den Nulldurchgängen der Spannung.

Die Behauptung ist falsch. Ihr Maximum erreicht die Spannung bei \(t=\tfrac{\pi}{2}\) mit \(u=325\ \text{V}\); dort ist aber \(u'\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=325\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0\) — die Spannung ändert sich in diesem Augenblick gar nicht.

Umgekehrt ist die Änderung genau dort am größten, wo die Spannung null ist. Der Denkfehler besteht darin, den Funktionswert mit der Steigung zu verwechseln: Nach der NEW-Regel sind die Extremstellen von \(u\) die Nullstellen von \(u'\) — und nicht dessen Extremstellen.

\(f'(x)=\cos x-\sin x\) und \(f''(x)=-\sin x-\cos x\).

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \cos x=\sin x \Leftrightarrow \tan x=1\). Im Intervall \([0;2\pi]\) folgt \(x_1=\tfrac{\pi}{4}\) und \(x_2=\tfrac{5\pi}{4}\).

\(f''\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}<0\) → Hochpunkt; mit \(f\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\) ergibt sich \(H\left(\tfrac{\pi}{4} \mid \sqrt{2}\right)\).

\(f''\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=\sqrt{2}>0\) → Tiefpunkt \(T\left(\tfrac{5\pi}{4} \mid -\sqrt{2}\right)\).

Beurteilung: Die überlagerte Welle erreicht die Amplitude \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\) und schlägt damit stärker aus als jede Einzelwelle mit der Amplitude 1 — aber deutlich weniger als die Summe beider Amplituden (2). Das liegt daran, dass die beiden Wellen ihre Maxima nicht zur selben Zeit erreichen: Sie sind um \(\tfrac{\pi}{2}\) gegeneinander verschoben und verstärken sich deshalb nur teilweise.