Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben rund um die lokale Änderungsrate: Zuerst rechnest du Differenzenquotienten aus und kreist Grenzwerte numerisch ein, in der Mitte arbeitest du mit der Grenzwert-Lupe und mit Termen, die du kürzen musst, und am Ende schließt du von der Rate auf die Stelle zurück. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.
Fülle den Text so aus, dass er den Grenzprozess von der Sekante zur Tangente beschreibt.
Die lokale Änderungsrate gehört immer zu genau einer . Um sie zu bestimmen, legt man zunächst eine durch die Punkte \(P\) und \(Q\) und berechnet deren . Dann lässt man \(Q\) auf \(P\) zuwandern und bildet den der Differenzenquotienten. Die Gerade, der sich die Sekanten dabei annähern, heißt . Ihre Steigung ist \(f'(x_0)\). Einsetzen von \(x=x_0\) ist verboten, weil sonst der null wird.
Fünf Aussagen über die lokale Änderungsrate. Entscheide bei jeder, ob sie wahr oder falsch ist.
Für \(f(x)=x^{3}\) sollen die Differenzenquotienten \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\) an der Stelle \(x_0=2\) untersucht werden. Die Tabelle zeigt: für \(x=2{,}1\) ergibt sich \(12{,}61\), für \(x=2{,}01\) ergibt sich \(12{,}0601\), für \(x=2{,}001\) ergibt sich \(12{,}006001\). Gib \(f'(2)\) an.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-x\). Bestimme den Differenzenquotienten von \(f\) zwischen \(x_0=3\) und \(x=3{,}1\). Es ist \(f(3)=6\). Rechne Zeile für Zeile — runde erst am Schluss.
- Wie groß ist \(f(3{,}1)\)?
- Wie groß ist \(f(3{,}1)-f(3)\)?
- Wie groß ist \(3{,}1-3\)?
- Wie groß ist der Differenzenquotient?
Kreuze für jede Situation an, was über die lokale Änderungsrate an der betrachteten Stelle gilt.
| Situation | f′(x₀) > 0 | f′(x₀) = 0 | f′(x₀) < 0 |
|---|---|---|---|
| Der Graph steigt an der Stelle x₀ an. | |||
| Die Tangente an der Stelle x₀ verläuft waagerecht. | |||
| Die Wassermenge im Becken nimmt gerade ab. | |||
| Der Heißluftballon hat genau jetzt seinen höchsten Punkt erreicht. | |||
| Die Geschwindigkeit des Autos nimmt in diesem Moment zu. |
Verbinde jede Angabe mit der passenden Beschreibung. Achte darauf, ob von der Steigung oder von der Lage die Rede ist.
Bringe die sechs Schritte in die Reihenfolge, in der man die lokale Änderungsrate an einer Stelle \(x_0\) bestimmt.
Sortiere die acht Aussagen in die drei Bereiche ein.
Sechs Aussagen — vier davon sind richtig. Markiere alle richtigen und prüfe erst dann.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-6x\). Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. An genau einer Stelle \(x_0\) gilt \(f'(x_0)=0\). Bestimme diese Stelle. Tipp: Schreibe den Term in der Form \(f(x)=(x-d)^{2}+e\).
Für \(f(x)=x^{2}+3x\) und die Stelle \(x_0=1\) lautet der Differenzenquotient \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^{2}+3x-4}{x-1}\). Kürze so weit wie möglich und gib den vereinfachten Term ein.
2x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und die Stelle \(x_0=3\). Berechne den Differenzenquotienten \(\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\) für die fünf angegebenen Stellen und trage in der letzten Zeile ein, wohin die Werte streben.
| Stelle \(x\) | \(\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\) |
|---|---|
| \(x = 4\) | |
| \(x = 3,5\) | |
| \(x = 3,1\) | |
| \(x = 3,01\) | |
| \(x = 2,99\) | |
| Grenzwert \(x\to 3\) |
Gezeichnet ist \(f(x)=0{,}5\,x^{2}\) mit dem festen Punkt \(P(2 \mid 2)\). Wähle nacheinander Stellen \(x\), die immer näher bei \(x_0=2\) liegen, und beobachte die Sekantensteigungen im Protokoll. Trage dann den Grenzwert \(f'(2)\) ein.
| x | f(x) | Differenzenquotient |
|---|
Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) und die Stelle \(x_0=2\). Bestimme \(f'(2)\) und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an (Minuszeichen in den Zähler).
Ein Fahrzeug legt in \(t\) Sekunden \(s(t)=t^{2}\) Meter zurück. Untersuche den Zeitpunkt \(t_0=4\;\text{s}\). Trage im letzten Feld die Einheit ein, zum Beispiel als m/s.
\(s(4)=\) \(s(4{,}01)=\)
Differenzenquotient auf \([4\,;\,4{,}01]\): Grenzwert \(s'(4)=\) Einheit:
Jemand bestimmt \(f'(3)\) für \(f(x)=x^{2}\). Zwei Zeilen sind falsch.
Für \(f(x)=x^{2}\) gilt \(\dfrac{x^{2}-x_0^{2}}{x-x_0}=x+x_0\). Nutze das und bestimme die drei lokalen Änderungsraten.
Der Graph gehört zu \(f(x)=x^{2}-4x\); für diese Funktion gilt \(f'(x_0)=2x_0-4\). Rechne jeweils die Stelle aus und setze dann den Punkt des Graphen.
Für \(f(x)=x^{2}-6x\) gilt \(f'(x_0)=2x_0-6\). An welcher Stelle \(x_0\) hat der Graph die lokale Änderungsrate \(4\)?
Wieder ist \(f(x)=x^{2}-4x\) mit \(f'(x_0)=2x_0-4\). Markiere auf der Zahlengeraden die Menge aller Stellen \(x_0\), an denen die lokale Änderungsrate negativ ist. Denke an die richtige Klammer und daran, dass ein Griff ganz außen \(-\infty\) bedeutet.