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3.1.3 · Textaufgaben

Textaufgaben: Lokale Änderungsrate

Fünf Sachaufgaben zur lokalen Änderungsrate — mit Operatoren, Teilaufgaben, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.

1

Grippewelle an der Schule

AFB I

An einer Schule wird die Zahl der Krankmeldungen während einer Grippewelle durch \(N(t)=-t^{3}+12t^{2}+15t\) beschrieben; dabei ist \(t\) die Zeit in Tagen mit \(0\le t\le 12\) und \(N(t)\) die Zahl der Krankmeldungen. Material M1 zeigt den Verlauf.

M1Krankmeldungen im Verlauf der Grippewelle
Sekante über [0;8]Tangente bei t = 4 0 2 4 6 8 10 12 0 100 200 300 400 t in Tagen N in Meldungen
Die violette Gerade ist die Sekante über \([0;8]\), die orange Gerade die Tangente im Punkt \(t=4\).
  1. Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von \(N\) im Intervall \([0;8]\) und geben Sie die Einheit an.
  2. Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate an der Stelle \(t=4\), indem Sie die Sekantensteigungen über \([4;4{,}1]\) und \([4;4{,}01]\) berechnen und den Grenzwert angeben.
  3. Erläutern Sie den Unterschied zwischen den Ergebnissen aus a) und b) im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Berechnen Sie zuerst \(N(0)\) und \(N(8)\) und setzen Sie beides in \(m=\dfrac{N(8)-N(0)}{8-0}\) ein.Die Einheit folgt aus den Achsen: Meldungen je Tag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(N(0)=0\) und \(N(8)=-512+768+120=376\). Ansatz: \(m=\dfrac{N(8)-N(0)}{8-0}=\dfrac{376-0}{8}=47\). Ergebnis: \(47\ \tfrac{\text{Meldungen}}{\text{Tag}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Sekantensteigung ist stets \(\dfrac{N(4+h)-N(4)}{h}\) mit \(h=0{,}1\) bzw. \(h=0{,}01\). Notieren Sie die Zwischenwerte auf mindestens vier Nachkommastellen, sonst verschwindet der Effekt beim Runden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(N(4)=-64+192+60=188\); \(N(4{,}1)=194{,}299\) und \(N(4{,}01)\approx188{,}6300\). Sekantensteigungen: \(\dfrac{194{,}299-188}{0{,}1}=62{,}99\) und \(\dfrac{188{,}6300-188}{0{,}01}=63{,}00\). Die Werte streben gegen \(63\); die lokale Änderungsrate beträgt also \(N'(4)=63\ \tfrac{\text{Meldungen}}{\text{Tag}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie in M1, wo die Sekante und wo die Tangente anliegt, und formulieren Sie zu beiden Zahlen je einen Satz.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Wert aus a) ist ein Mittelwert über acht Tage: Von Tag 0 bis Tag 8 kamen im Durchschnitt 47 Meldungen pro Tag hinzu. Der Wert aus b) gilt für einen einzigen Augenblick: Genau an Tag 4 wächst die Zahl der Meldungen mit 63 pro Tag. Die Sekante verbindet zwei Punkte des Graphen, die Tangente berührt ihn in einem.

2

Vollbremsung auf der Landstraße

AFB II

Ein Auto leitet aus voller Fahrt eine Vollbremsung ein. Für den zurückgelegten Bremsweg gilt \(s(t)=20t-2t^{2}\); dabei ist \(t\) die Zeit in Sekunden seit dem Bremsbeginn und \(s(t)\) der Weg in Metern. Das Modell gilt, solange das Fahrzeug rollt.

  1. Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall \([0;5]\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).
  2. Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=2\), indem Sie den Differenzenquotienten mit dem Abstand \(h\) aufstellen, vereinfachen und \(h\) gegen null gehen lassen.
  3. Entscheiden Sie mit demselben Verfahren, zu welchem Zeitpunkt das Fahrzeug zum Stehen kommt, und begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(s(0)=0\); berechnen Sie \(s(5)\) und setzen Sie in \(\dfrac{s(5)-s(0)}{5-0}\) ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s(5)=100-50=50\). Ansatz: \(m=\dfrac{s(5)-s(0)}{5-0}=\dfrac{50\ \text{m}}{5\ \text{s}}=10\). Ergebnis: \(10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie \(2+h\) in den Term ein, fassen Sie zusammen und kürzen Sie anschließend durch \(h\).Erst nach dem Kürzen darf \(h=0\) eingesetzt werden — vorher stünde im Nenner eine Null.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(s(2)=40-8=32\) und \(s(2+h)=20(2+h)-2(2+h)^{2}=40+20h-8-8h-2h^{2}=32+12h-2h^{2}\).

Differenzenquotient: \(\dfrac{s(2+h)-s(2)}{h}=\dfrac{12h-2h^{2}}{h}=12-2h\). Für \(h\to 0\) folgt \(s'(2)=12\), also \(12\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Stellen Sie den Differenzenquotienten allgemein an der Stelle \(t\) auf. Das Fahrzeug steht, wenn die Momentangeschwindigkeit null ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Allgemein: \(s(t+h)-s(t)=20h-2(2th+h^{2})=20h-4th-2h^{2}\), also \(\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}=20-4t-2h\) und damit \(s'(t)=20-4t\). Aus \(20-4t=0\) folgt \(t=5\). Das Fahrzeug kommt nach 5 Sekunden zum Stehen — dort ist die Momentangeschwindigkeit null, der Bremsweg wächst also nicht mehr. Für \(t>5\) ist das Modell nicht mehr sinnvoll, es würde einen rückwärts rollenden Wagen beschreiben.

3

Talsperre: Annäherung von zwei Seiten

AFB II

Der Wasserstand einer Talsperre wird über zehn Tage hinweg durch \(W(t)=0{,}2t^{3}-3t^{2}+9t+50\) beschrieben; \(t\) ist die Zeit in Tagen, \(W(t)\) der Pegelstand in Zentimetern. Für die Stelle \(t=3\) wurden die Sekantensteigungen aus Material M1 berechnet.

M1Sekantensteigungen um die Stelle \(t=3\)
Sekantensteigungen in \(\tfrac{\text{cm}}{\text{d}}\), gerundet.
\(h\)10,50,10,01
linksseitig: \(\big[3-h;3\big]\)−2,20−2,95−3,478−3,588
rechtsseitig: \(\big[3;3+h\big]\)−4,60−4,15−3,718−3,612
Beide Zeilen nähern sich derselben Zahl — von unten und von oben.
  1. Erläutern Sie anhand von M1, wie sich die links- und die rechtsseitigen Sekantensteigungen mit kleiner werdendem \(h\) verhalten.
  2. Geben Sie die lokale Änderungsrate \(W'(3)\) mit Einheit an und deuten Sie sie im Sachzusammenhang.
  3. Begründen Sie, warum es für die lokale Änderungsrate notwendig ist, dass beide Seiten gegen denselben Wert streben.
Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleichen Sie die Zeilen spaltenweise: Wie groß ist der Abstand zwischen dem linken und dem rechten Wert bei \(h=1\), wie groß bei \(h=0{,}01\)?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Mit kleiner werdendem \(h\) wachsen die linksseitigen Werte (von \(-2{,}20\) auf \(-3{,}588\)), während die rechtsseitigen fallen (von \(-4{,}60\) auf \(-3{,}612\)). Beide Zeilen nähern sich einander an: Der Abstand schrumpft von \(2{,}40\) bei \(h=1\) auf nur noch \(0{,}024\) bei \(h=0{,}01\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der gemeinsame Grenzwert lässt sich aus der letzten Spalte ablesen. Achten Sie beim Deuten auf das Vorzeichen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(W'(3)=-3{,}6\ \tfrac{\text{cm}}{\text{d}}\). Deutung: Am dritten Tag fällt der Pegel — und zwar in diesem Augenblick mit einer Geschwindigkeit von 3,6 Zentimetern pro Tag. Das Minuszeichen gehört zur Aussage.

Hinweis zu Aufgabe c)
Überlegen Sie, was die Tangente in \(t=3\) leisten soll: Sie hat genau eine Steigung, nicht zwei.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die lokale Änderungsrate ist als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert und soll die Steigung einer Tangente angeben. Eine Gerade hat nur eine einzige Steigung. Strebten die Sekanten von links und von rechts gegen verschiedene Werte, gäbe es keine eindeutige Tangentensteigung — die Funktion wäre an dieser Stelle nicht differenzierbar (etwa bei einer Knickstelle).

4

Regenwassertank: eine Behauptung prüfen

AFB III

Material M1 zeigt den Wasserstand in einem Regenwassertank über zehn Stunden. Er wird durch \(W(t)=0{,}2t^{3}-3t^{2}+10t+30\) beschrieben (\(t\) in Stunden, \(W(t)\) in Zentimetern). Ein Schüler behauptet: „Wenn sich der Wasserstand nach zehn Stunden nicht geändert hat, dann hat sich zwischendurch überhaupt nichts geändert.“

M1Wasserstand im Regenwassertank
Sekante über [0;10]Tangente bei t = 1 0 2 4 6 8 10 15 20 25 30 35 40 45 t in Stunden W in cm
Start- und Endwert stimmen überein — die Sekante über \([0;10]\) verläuft waagerecht.
  1. Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von \(W\) im Intervall \([0;10]\).
  2. Bestimmen Sie mit dem Differenzenquotienten und \(h\to 0\) die lokale Änderungsrate an der Stelle \(t=1\).
  3. Beurteilen Sie die Behauptung des Schülers.
Hinweis zu Aufgabe a)
Berechnen Sie \(W(0)\) und \(W(10)\) und schauen Sie sich den Zähler des Differenzenquotienten an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(W(0)=30\) und \(W(10)=200-300+100+30=30\). Ansatz: \(m=\dfrac{W(10)-W(0)}{10-0}=\dfrac{0\ \text{cm}}{10\ \text{h}}=0\). Die durchschnittliche Änderungsrate ist null.

Hinweis zu Aufgabe b)
\(W(1+h)\) ausrechnen, \(W(1)\) abziehen, durch \(h\) kürzen, dann \(h\to 0\). Die binomischen Formeln \((1+h)^{2}\) und \((1+h)^{3}\) helfen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(W(1)=0{,}2-3+10+30=37{,}2\) und \(W(1+h)=37{,}2+4{,}6h-2{,}4h^{2}+0{,}2h^{3}\).

Differenzenquotient: \(\dfrac{W(1+h)-W(1)}{h}=4{,}6-2{,}4h+0{,}2h^{2}\). Für \(h\to 0\) folgt \(W'(1)=4{,}6\), also \(4{,}6\ \tfrac{\text{cm}}{\text{h}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Stützen Sie Ihr Urteil auf beide Ergebnisse und auf den Verlauf in M1.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Die mittlere Rate null besagt nur, dass Anfangs- und Endwert übereinstimmen — der Tank enthält nach zehn Stunden genauso viel Wasser wie zu Beginn. Über den Verlauf sagt sie nichts: Nach einer Stunde steigt der Wasserstand mit \(4{,}6\ \tfrac{\text{cm}}{\text{h}}\), zwischendurch erreicht er laut M1 rund 40 cm und fällt später auf etwa 20 cm. Anstieg und Absinken heben sich in der Bilanz gerade auf.

5

Produktionskosten: wo Mittelwert und Momentanwert gleich sind

AFB III

Die Gesamtkosten eines Betriebs werden durch \(K(x)=0{,}5x^{2}+20x+400\) beschrieben; \(x\) ist die produzierte Menge in Mengeneinheiten (ME), \(K(x)\) sind die Kosten in Euro.

  1. Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von \(K\) im Intervall \([10;30]\) und deuten Sie das Ergebnis als mittlere Kosten je zusätzlicher Mengeneinheit.
  2. Bestimmen Sie mit dem Differenzenquotienten und \(h\to 0\) diejenige Stelle \(x_0\), an der die lokale Änderungsrate genau diesen Wert annimmt.
  3. Begründen Sie, warum diese Stelle bei jeder quadratischen Kostenfunktion genau in der Mitte des Intervalls liegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(K(10)\) und \(K(30)\) berechnen, dann \(m=\dfrac{K(30)-K(10)}{30-10}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(K(10)=50+200+400=650\) und \(K(30)=450+600+400=1450\). Ansatz: \(m=\dfrac{1450-650}{30-10}=\dfrac{800\ €}{20\ \text{ME}}=40\). Ergebnis: \(40\ \tfrac{€}{\text{ME}}\) — im Mittel kostet in diesem Bereich jede zusätzliche Mengeneinheit 40 Euro.

Hinweis zu Aufgabe b)
Stellen Sie den Differenzenquotienten allgemein an einer Stelle \(x_0\) auf: \(\dfrac{K(x_0+h)-K(x_0)}{h}\). Nach dem Kürzen bleibt ein Term mit \(h\), der beim Grenzübergang verschwindet. Setzen Sie das Ergebnis gleich Ihrem Wert aus a).\((x_0+h)^{2}=x_0^{2}+2x_0h+h^{2}\) — der Summand \(x_0^{2}\) fällt gegen \(K(x_0)\) weg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(K(x_0+h)-K(x_0)=0{,}5\big(2x_0h+h^{2}\big)+20h=x_0h+0{,}5h^{2}+20h\), also \(\dfrac{K(x_0+h)-K(x_0)}{h}=x_0+20+0{,}5h\). Für \(h\to 0\) folgt \(K'(x_0)=x_0+20\).

Ansatz: \(x_0+20=40 \Rightarrow x_0=20\). Bei einer Produktionsmenge von 20 ME stimmt die momentane Kostensteigerung genau mit dem Mittelwert über \([10;30]\) überein.

Hinweis zu Aufgabe c)
Sehen Sie sich an, welchen Typ von Funktion die lokale Änderungsrate \(K'\) hier hat, und was der Mittelwert zweier Werte einer solchen Funktion bedeutet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei einer quadratischen Funktion \(K(x)=ax^{2}+bx+c\) ist die lokale Änderungsrate \(K'(x)=2ax+b\) eine lineare Funktion. Die durchschnittliche Änderungsrate über \([u;v]\) ist \(\dfrac{K(v)-K(u)}{v-u}=a(u+v)+b\); das ist genau der Wert von \(K'\) an der Stelle \(\dfrac{u+v}{2}\). Weil eine lineare Funktion ihren Mittelwert stets in der Intervallmitte annimmt, liegt \(x_0\) immer dort — hier also bei \(\dfrac{10+30}{2}=20\).