Die reellen Zahlen: Übungen – Mathe Klasse 10

A1

Wofür braucht man Brüche?

AFB I

Welche Gleichungen haben eine Lösung in ℚ, aber keine in ℤ?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

x² = 9 und x + 7 = 2 sind schon in ℤ lösbar (x = ±3, x = −5). x² = 3 ist erst in ℝ lösbar — √3 ist kein Bruch.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen zu den Zahlbereichen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Merke: ℚ ist dicht, aber nicht lückenlos. Erst ℝ füllt die Zahlengerade vollständig.

A3

Warum die Zahlen immer mehr werden

AFB I

Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Um x + 5 = 2 zu lösen, braucht man Zahlen. Für 3x = 2 braucht man . Für x² = 2 reicht auch das nicht: Es fehlen die Zahlen. Rationale und irrationale Zahlen bilden zusammen die Zahlen, die die Zahlengerade ausfüllen.

„natürlichen“ bleibt übrig — mit ihnen fängt alles an, sie lösen aber keine der drei Gleichungen.

A4

In welchem Bereich kommt die Zahl neu dazu?

AFB I

Ordne jede Zahl dem Bereich zu, in dem sie zum ersten Mal vorkommt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1ℤ, aber nicht ℕ

2ℚ, aber nicht ℤ

3ℝ, aber nicht ℚ

−√16 = −4 ist ganz, √0,64 = 0,8 ist ein Bruch. π − 3 bleibt irrational, auch wenn es „klein“ aussieht.

A5

Raumdiagonale im Würfel

AFB I

Ein Würfel mit der Kantenlänge 4 cm hat die Raumdiagonale d = 4 · √3 cm. Gib d auf zwei Nachkommastellen an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

4 · √3 ≈ 4 · 1,7321 = 6,928… ≈ 6,93 cm. Exakt bleibt 4√3 cm — jede Dezimalzahl ist nur eine Näherung.

A6

Der Größe nach

AFB II

Ordne die Zahlen von klein nach groß.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

11,41

2√2

31,4̅

43/2

51,5̅

6π : 2

√2 ≈ 1,4142 liegt knapp über 1,41; 1,4̅ = 1,444… ist deutlich größer. π : 2 ≈ 1,5708 überholt 1,5̅ = 1,555… nur knapp.

A7

Ein Rad rollt 100 m

AFB II

Ein Rad hat den Durchmesser 0,5 m und rollt geradeaus.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Umfang des Rads (zwei Nachkommastellen) m
Volle Umdrehungen auf 100 m
Zurückgelegte Strecke nach diesen Umdrehungen (zwei Nachkommastellen) m
Reststrecke bis 100 m m

U = π · 0,5 m ≈ 1,5708 m. 100 : 1,5708 ≈ 63,7 — nach 63 vollen Umdrehungen fehlen noch gut 1 m. Weil π irrational ist, geht die Rechnung nie genau auf.

A8

Kleinster Zahlbereich mit Lösung

AFB II

In welchem kleinsten Zahlbereich hat die Gleichung eine Lösung?

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Jede Erweiterung löst genau ein neues Problem: Abziehen, Teilen, Wurzelziehen. Negative Radikanden bleiben in ℝ ungelöst.

A9

Fehlersuche im Merkheft

AFB II

Sechs Einträge — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Am häufigsten verwechselt: „dicht“ und „lückenlos“. Dicht sind schon die Brüche, lückenlos erst die reellen Zahlen.

A10

Wo liegt das Ergebnis?

AFB III

Entscheide für jeden Term, in welchem kleinsten Zahlbereich sein Wert liegt.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ℕ, 2 = ℤ, 3 = ℚ, 4 = ℝ, 5 = in ℝ nicht definiert. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = ℕ5 = in ℝ nicht definiert

(√5)²

1 − (√3)²

−√0,25

√3 · √6

√(−9)

(√5)² = 5, 1 − 3 = −2, −√0,25 = −0,5, √3 · √6 = √18 = 3√2 ist irrational. Wurzeln verraten erst nach dem Vereinfachen, wohin sie gehören.

Die reellen Zahlen

Übungsaufgaben