Die reellen Zahlen

Jede Erweiterung der Zahlen beantwortet eine Frage, die im alten Bereich keine Lösung hatte.

• ℕ → ℤ:\(x+5=2\) hat in \(\mathbb N\) keine Lösung — erst mit negativen Zahlen: \(x=-3\).
• ℤ → ℚ:\(3x=2\) hat in \(\mathbb Z\) keine Lösung — erst mit Brüchen: \(x=\frac23\).
• ℚ → ℝ:\(x^2=2\) hat in \(\mathbb Q\) keine Lösung — die Diagonale im Einheitsquadrat ist aber \(\sqrt2\) lang.
• Kreis:Ein Kreis mit Durchmesser \(1\) hat den Umfang \(\pi\) — ebenfalls kein Bruch.

Ziehe den violetten Punkt (oder starte mit ▶): Die Diagonale des Einheitsquadrats klappt auf den Zahlenstrahl, der Kreis mit Durchmesser 1 rollt einmal ab. Die Lupe zeigt, welcher Bruch am nächsten liegt.

Halte fest: Die Punkte \(\sqrt2\) und \(\pi\) liegen auf dem Zahlenstrahl — aber kein Bruch trifft sie genau. Erst mit den irrationalen Zahlen ist die Zahlengerade lückenlos.

Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die reellen Zahlen.

• Reelle Zahlen:\(\mathbb R\) = alle rationalen und alle irrationalen Zahlen.
• Zahlengerade:Zu jedem Punkt gehört genau eine reelle Zahl und umgekehrt — es gibt keine Lücken mehr.
• Dicht, aber lückenhaft:Zwischen zwei Brüchen liegen unendlich viele weitere Brüche. Trotzdem fehlen in \(\mathbb Q\) Punkte wie \(\sqrt2\).
• Rechenregeln:Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz gelten in \(\mathbb R\) weiter.
• Grenze:\(x^2=-1\) hat auch in \(\mathbb R\) keine Lösung — kein Quadrat ist negativ.