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Die reellen Zahlen

Ein Zirkel, ein Dreieck — und schon liegt eine irrationale Zahl auf der Zahlengeraden.

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√5 auf der Zahlengeraden

AFB I–II

Lara zeichnet auf der Zahlengeraden ein rechtwinkliges Dreieck: Die eine Kathete liegt von 0 bis 2 auf der Zahlengeraden, die andere ist 1 Einheit lang und steht senkrecht in der 2 nach oben. Mit dem Zirkel um 0 überträgt sie die Hypotenuse auf die Zahlengerade.

  1. Berechne die Länge der Hypotenuse exakt und auf drei Nachkommastellen.
  2. Beschreibe in Worten, wie Lara den Punkt \(\sqrt5\) auf der Zahlengeraden erhält.
  3. Ordne \(\sqrt5\) in die Zahlbereiche ein und begründe kurz.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Satz des Pythagoras mit den Katheten 2 und 1.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welcher Punkt ist der Mittelpunkt des Zirkelbogens, welcher Punkt liegt auf dem Bogen?
Hinweis zu Aufgabe c)
5 ist keine Quadratzahl.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(c^2=2^2+1^2=5\), also \(c=\sqrt5\approx2{,}236\) Einheiten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Sie sticht den Zirkel in 0 ein und öffnet ihn bis zur oberen Ecke des Dreiecks (Radius \(\sqrt5\)). Der Bogen schneidet die positive Zahlengerade im Punkt \(\sqrt5\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\sqrt5\in\mathbb R\), aber \(\sqrt5\notin\mathbb Q\): Da 5 keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt5\) irrational. Damit liegt es auch nicht in \(\mathbb Z\) oder \(\mathbb N\).

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Streit um die Zahlengerade

AFB II–III

Mia sagt: „Zwischen zwei Brüchen liegt immer noch ein Bruch. Die Brüche liegen also so dicht, dass jeder Punkt der Zahlengeraden ein Bruch ist.“ Jonas meint: „Mit den Zahlen aus dem Taschenrechner komme ich doch sowieso überall hin — die reichen völlig.“

  1. Erläutere an den Brüchen \(\frac12\) und \(\frac35\), warum zwischen zwei Brüchen immer ein weiterer Bruch liegt.
  2. Widerlege Mias Schluss mit einem Gegenbeispiel.
  3. Diskutiere die Aussage von Jonas.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bilde den Mittelwert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Denke an die Diagonale im Quadrat mit Seite 1.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Zahlen kann ein Rechner überhaupt anzeigen? Unterscheide praktisches Rechnen und mathematische Genauigkeit.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Mittelwert \(\frac12\left(\frac12+\frac35\right)=\frac{11}{20}\) liegt dazwischen und ist wieder ein Bruch. Das lässt sich beliebig oft wiederholen — \(\mathbb Q\) ist dicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Diagonale des Einheitsquadrats hat die Länge \(\sqrt2\); mit dem Zirkel lässt sie sich auf die Zahlengerade übertragen. Dieser Punkt gehört zu keinem Bruch, denn \(\sqrt2\) ist irrational. „Dicht“ heißt also nicht „lückenlos“.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Pro: Für Messungen und Alltagsrechnungen genügen gerundete Werte, und Rechnerzahlen kommen jedem Punkt beliebig nahe. Contra: Jede Anzeige bricht ab und ist damit rational; exakte Werte wie \(\sqrt2\) oder \(\pi\) kann der Rechner nicht als Dezimalzahl darstellen. Fazit: Zum Rechnen reichen Näherungen, zum exakten Beschreiben braucht man \(\mathbb R\).