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Rationale Zahlen

Abbrechend oder periodisch — bei jedem Bruch lässt sich das vorhersagen, bevor man dividiert.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Welche Brüche brechen ab?
AFB I

Bei welchen Brüchen endet die Dezimaldarstellung nach endlich vielen Stellen? Achtung: Erst kürzen, dann entscheiden.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
9/12 = 3/4 = 0,75 bricht ab — der Nenner 12 täuscht. 5/6, 4/15 und 11/14 enthalten im gekürzten Nenner den Faktor 3 bzw. 7 und werden periodisch.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu Brüchen und Dezimalzahlen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Ob ein Bruch abbricht, entscheidet allein der vollständig gekürzte Nenner.
A3
Warum jeder Bruch periodisch wird
AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim schriftlichen Teilen durch 7 können nur die 1 bis 6 auftreten. Taucht ein Rest zum zweiten Mal auf, beginnt die . Wird ein Rest , ist die Dezimalzahl . Jede Zahl, die sich als Bruch schreiben lässt, heißt Zahl.

„irrationale“ bleibt übrig: Irrationale Zahlen sind gerade die, die sich nicht als Bruch schreiben lassen.
A4
Abbrechend, rein oder gemischt periodisch?
AFB I

Sortiere die Brüche nach der Art ihrer Dezimaldarstellung.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1abbrechend
2rein periodisch
3gemischt periodisch
Gemischt periodisch wird es, wenn der gekürzte Nenner neben 2 oder 5 noch andere Primfaktoren hat: 6 = 2 · 3, 12 = 2² · 3. 1/6 = 0,16̅, 7/12 = 0,583̅.
A5
Periode in Bruch umwandeln
AFB II

Schreibe 0,2̅7̅ als vollständig gekürzten Bruch (Eingabe z. B. als 5/7).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
x = 0,2̅7̅: 100x − x = 27, also x = 27/99 = 3/11. Probe: 3 : 11 = 0,2727…
A6
Gemischt periodisch — in der richtigen Reihenfolge
AFB II

Bringe die Schritte zur Umwandlung von 0,13̅ in einen Bruch in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1x = 0,13̅ = 0,1333…
210x = 1,3̅ — Periode direkt hinter das Komma schieben
3100x = 13,3̅ — eine Periodenlänge weiter
4100x − 10x = 13,3… − 1,3… = 12
5x = 12/90 = 2/15
Häufigster Fehler: gleich 100x − x rechnen. Bei gemischt periodischen Zahlen muss erst die Vorperiode hinter das Komma, sonst bleiben unendlich viele Stellen stehen.
A7
Rechenkette: 7 : 13
AFB II

Teile 7 schriftlich durch 13. Du startest mit dem Rest 7.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Erste Ziffer nach dem Komma (70 : 13)
  2. Rest nach diesem Schritt
  3. Zweite Ziffer nach dem Komma
  4. Länge der Periode von 7/13 Ziffern
7/13 = 0,5̅3̅8̅4̅6̅1̅. Beim Nenner 13 wären bis zu 12 Ziffern möglich — hier wiederholt sich der Rest 7 schon nach 6 Schritten.
A8
Brüche und ihre Dezimalzahlen
AFB II

Die Dezimalzahlen sehen sich ähnlich — verbinde jeden Bruch mit seiner Dezimalzahl.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Trick: 1/9 = 0,1̅ und 1/11 = 0,0̅9̅ kennt man; 1/12 ist die Hälfte von 1/6.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Umwandlungen aus einem Heft — drei davon sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
In Arbeiten am häufigsten: 100 statt 99 im Nenner — das wäre die abbrechende Zahl 0,36.
A10
Wie lang wird die Periode?
AFB III

Schätze für jeden Bruch ein, wie seine Dezimaldarstellung aussieht.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = bricht ab, 2 = Periodenlänge 1, 3 = Periodenlänge 2, 4 = Periodenlänge 3, 5 = Periodenlänge 6. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = bricht ab5 = Periodenlänge 6
9/40
2/3
3/11
1/37
3/7
Hilfreich sind die „Neunerzahlen“: 9 = 9, 99 = 9 · 11, 999 = 27 · 37, 999999 = 7 · 142857. Wer 37 · 27 = 999 kennt, sieht sofort: 1/37 = 27/999 = 0,0̅2̅7̅.