Vom Bruch zur Dezimalzahl
Jeder Bruch lässt sich durch schriftliches Dividieren in eine Dezimalzahl verwandeln. Dabei gibt es nur zwei Möglichkeiten.
- Rationale Zahl:jede Zahl, die sich als Bruch \(\frac pq\) schreiben lässt (\(p\) ganz, \(q\) natürlich, \(q\neq 0\)); Zeichen \(\mathbb Q\).
- Abbrechend:\(\frac38=0{,}375\) — irgendwann bleibt der Rest \(0\).
- Periodisch:\(\frac17=0{,}\overline{142857}\) — ein Rest kommt wieder, die Ziffern darunter heißen Periode.
- Gemischt periodisch:\(\frac5{12}=0{,}41\overline{6}\) — erst einige Ziffern, dann die Periode.
Starte mit ▶ oder gehe mit „Ein Schritt“ voran. Rechts leuchtet jeder Rest auf dem Reste-Kreis auf — achte darauf, wann ein Rest zum zweiten Mal kommt.
Halte fest: Beim Teilen durch \(q\) gibt es nur die Reste \(0\) bis \(q-1\). Spätestens nach \(q\) Schritten wiederholt sich ein Rest — ab dann wiederholen sich auch die Ziffern.
Von der Dezimalzahl zum Bruch
Umgekehrt lässt sich jede abbrechende oder periodische Dezimalzahl als Bruch schreiben.
- Abbrechend:\(0{,}375=\frac{375}{1000}=\frac38\) — Nenner ist eine Zehnerpotenz, dann kürzen.
Herleitung:
Rationale Zahlen: \(x\in\mathbb Q\;\Longleftrightarrow\;\) Dezimaldarstellung abbrechend oder periodisch
Allgemeine Hinweise
Der Rechner rundet
Die Anzeige \(0{,}6666666667\) für \(\frac23\) bricht nur scheinbar ab. Richtig ist \(\frac23=0{,}\overline{6}\).
Nenner verrät es vorher
Hat der gekürzte Nenner nur die Primfaktoren \(2\) und \(5\), bricht die Dezimalzahl ab: \(\frac7{20}=0{,}35\). Sonst ist sie periodisch.
Strich über die ganze Periode
\(0{,}\overline{36}=0{,}363636\ldots\) ist etwas anderes als \(0{,}3\overline{6}=0{,}36666\ldots\).