MINT lernen

Rationale Zahlen

Preise, Perioden und eine Behauptung, die sich nicht halten lässt.

1

Flaschenpreis im Getränkemarkt

AFB I–II

Ein Getränkemarkt verkauft eine Kiste mit 12 Flaschen Apfelschorle für 11 €. Einzeln kostet eine Flasche an der Kasse den auf ganze Cent gerundeten Kistenpreis je Flasche.

  1. Berechne den Preis einer Flasche als Dezimalzahl und kennzeichne die Periode.
  2. Ermittle den Betrag, den man für 12 einzeln gekaufte Flaschen zahlt, und den Unterschied zum Kistenpreis.
  3. Begründe ohne zu dividieren, dass 11/12 keine abbrechende Dezimalzahl hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Teile 11 € durch 12 schriftlich. Achte darauf, ab wann sich der Rest wiederholt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst runden, dann mit 12 multiplizieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zerlege den Nenner in Primfaktoren.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Preis \(=11:12=0{,}91\overline{6}\) €. Nach den Ziffern 9 und 1 bleibt immer der Rest 8, die 6 wiederholt sich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}91\overline6\) € \(\approx 0{,}92\) €; \(12\cdot0{,}92\) € \(=11{,}04\) €. Man zahlt 4 Cent mehr als für die Kiste.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\frac{11}{12}\) ist vollständig gekürzt, und \(12=2^2\cdot3\) enthält den Primfaktor 3. Abbrechend wird ein Bruch nur, wenn der gekürzte Nenner allein aus den Faktoren 2 und 5 besteht.

2

Lenas Vermutung zur Periodenlänge

AFB II–III

Lena hat gerechnet: \(\frac17=0{,}\overline{142857}\) hat eine Periode aus 6 Ziffern. Sie vermutet: „Bei einem Bruch mit dem Nenner \(n\) ist die Periode immer genau \(n-1\) Ziffern lang.“

  1. Untersuche die Vermutung an \(\frac1{11}\) und \(\frac1{13}\).
  2. Erläutere mithilfe der Reste, warum die Periode bei \(\frac pn\) höchstens \(n-1\) Ziffern lang sein kann.
  3. Zeige durch Umwandeln der Periode in einen Bruch, dass \(0{,}\overline{142857}=\frac17\) gilt.
  4. Beurteile Lenas Vermutung abschließend.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Dividiere schriftlich und notiere die Reste, bis einer doppelt auftritt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welche Reste sind beim Teilen durch \(n\) möglich, wenn die Division nicht aufgeht?
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Periode hat 6 Stellen — multipliziere mit \(10^6\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Unterscheide zwischen „immer genau“ und „höchstens“.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\frac1{11}=0{,}\overline{09}\) hat Periodenlänge 2 (Reste 1, 10, 1). \(\frac1{13}=0{,}\overline{076923}\) hat Periodenlänge 6 (Reste 1, 10, 9, 12, 3, 4, 1). Die Vermutung trifft in beiden Fällen nicht zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Möglich sind nur die Reste \(1,\ldots,n-1\), also höchstens \(n-1\) verschiedene. Spätestens nach \(n-1\) Schritten kommt ein Rest zum zweiten Mal, und ab dort wiederholen sich alle Ziffern. Die Periode kann also kürzer, aber nie länger als \(n-1\) sein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x=0{,}\overline{142857}\), \(10^6x-x=142857\), also \(x=\frac{142857}{999999}\). Wegen \(7\cdot142857=999999\) gilt \(x=\frac17\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Vermutung ist falsch, wie \(\frac1{11}\) und \(\frac1{13}\) zeigen. Richtig ist nur die abgeschwächte Aussage: Die Periode ist höchstens \(n-1\) Ziffern lang; bei manchen Nennern wie 7 oder 17 wird diese Länge tatsächlich erreicht.