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Iterieren mit Tabelle und GTR

Tabelle, GTR oder CAS — drei Werkzeuge für dieselbe Iteration.

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√10 in der Tabellenkalkulation

AFB I–II

Emil möchte \(\sqrt{10}\) mit dem Heron-Verfahren in einer Tabellenkalkulation bestimmen. Er schreibt den Startwert 3 in die Zelle A1. Die Tabelle zeigt sieben Nachkommastellen an.

  1. Erstelle die Formel für A2 und gib die angezeigten Werte in A2 bis A5 an.
  2. Lies ab, ab welcher Zeile sich die Anzeige nicht mehr ändert, und deute das Ergebnis.
  3. Erkläre, warum Emil die Formel nur einmal eingeben muss.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Formel bezieht sich auf A1 und wird dann nach unten ausgefüllt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche die angezeigten Stellen von Zeile zu Zeile.
Hinweis zu Aufgabe c)
Was passiert beim Ausfüllen mit dem Bezug A1?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

A2: =(A1+10/A1)/2. Werte: A2 = 3,1666667; A3 = 3,1622807; A4 = 3,1622777; A5 = 3,1622777.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ab A4 bleibt die Anzeige 3,1622777. Auf sieben Nachkommastellen ist \(\sqrt{10}\approx3{,}1622777\) — exakt ist der Wert nicht, er ist nur so genau, wie die Tabelle anzeigt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Bezug A1 ist relativ. Beim Ausfüllen nach unten wird er zeilenweise angepasst: In A3 steht =(A2+10/A2)/2, in A4 =(A3+10/A3)/2 usw. Jede Zeile rechnet mit dem Ergebnis darüber weiter — genau das ist die Iteration.

2

Drei Werkzeuge, eine Iteration

AFB II–III

Drei Schülerinnen bestimmen \(\sqrt{10}\) mit Startwert 3: Ayla am Casio fx-CG50, Ben am TI-Nspire CX CAS, Clara in einer Tabellenkalkulation. Ben wundert sich: Nach zwei Schritten zeigt sein Rechner \(\frac{721}{228}\).

  1. Beschreibe die Tastenfolge, mit der Ayla am fx-CG50 die Heron-Werte nacheinander erhält.
  2. Deute Bens Anzeige \(\frac{721}{228}\), indem du \(x_1\) und \(x_2\) als Brüche berechnest.
  3. Entscheide begründet, welches Werkzeug sich für welche Aufgabe am besten eignet: (1) 20 Schritte von Heron und Intervallhalbierung nebeneinander vergleichen, (2) in einer Prüfung schnell drei Heron-Werte notieren, (3) zeigen, dass \(x_2\) exakt \(\frac{721}{228}\) ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Startwert muss zuerst als Ans gespeichert werden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne mit Brüchen: \(x_1=\frac12\left(3+\frac{10}3\right)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Was kann jedes Werkzeug besonders gut: viele Zeilen, schnelle Ergebnisse oder exakte Brüche?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Menü Run-Matrix: 3 EXE. Dann ( Ans + 10 ÷ Ans ) ÷ 2 EXE, wobei Ans über SHIFT (−) kommt. Jedes weitere EXE liefert den nächsten Wert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x_1=\frac12\cdot\frac{19}3=\frac{19}6\), \(x_2=\frac12\left(\frac{19}6+\frac{60}{19}\right)=\frac{361+360}{228}=\frac{721}{228}\approx3{,}1622807\). Das CAS rechnet exakt mit Brüchen; ctrl enter zeigt die Dezimalnäherung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

(1) Tabellenkalkulation: viele Zeilen und mehrere Spalten auf einen Blick. (2) GTR: mit Ans und EXE in Sekunden, ohne Tabelle aufzubauen. (3) CAS: rechnet exakt mit Brüchen und liefert den Nachweis direkt.