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Warum √2 irrational ist

Beweisen statt ausprobieren — und dabei merken, wie knapp gute Brüche an √2 vorbeischrammen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Welche Zahlen sind irrational?
AFB I

Markiere alle Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
√0,49 = 0,7 und √2 · √18 = √36 = 6 sind rational, 22/7 ist ein Bruch. 0,121121112… hat keine Periode, weil die Einsen immer mehr werden.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um irrationale Zahlen und den Beweis.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Irrational heißt „kein Bruch“ — erkennbar an unendlich vielen Nachkommastellen ohne Periode.
A3
Der Beweis als Lückentext
AFB I

Vervollständige den indirekten Beweis — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Am Anfang steht die : √2 = p/q, vollständig gekürzt. Quadrieren liefert p² = . Damit ist p² und also auch p . Mit p = 2k folgt q² = 2k², also ist auch q gerade. Das ist ein dazu, dass der Bruch war.

„ungerade“ bleibt übrig. Wäre p ungerade, dann auch p² — aber p² = 2q² ist das Doppelte einer Zahl.
A4
Natürlich, rational oder irrational?
AFB I

Sortiere die Wurzeln — manche sehen komplizierter aus, als sie sind.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1natürliche Zahl
2rational, nicht natürlich
3irrational
√0,1 = √(1/10) ist irrational, weil 10 keine Quadratzahl ist. √12,25 = 3,5, denn 35² = 1225.
A5
Wurzel passend machen
AFB II

Mit welcher kleinsten natürlichen Zahl k > 1 muss man 12 multiplizieren, damit √(12 · k) eine natürliche Zahl wird?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
12 = 2² · 3. Damit ein Quadrat entsteht, fehlt noch ein Faktor 3: √(12 · 3) = √36 = 6. Jeder Primfaktor muss eine gerade Anzahl haben.
A6
Beweis für √3 ordnen
AFB II

Bringe die Schritte des Beweises „√3 ist irrational“ in die richtige Reihenfolge. Verwendet wird: Ist p² durch 3 teilbar, dann auch p.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Annahme: √3 = p/q mit einem vollständig gekürzten Bruch
2Quadrieren: 3 = p²/q², also p² = 3q²
3p² ist durch 3 teilbar, also auch p: p = 3k
4Einsetzen: 9k² = 3q², also q² = 3k²
5Auch q ist durch 3 teilbar — Widerspruch zur Kürzung
Der Aufbau ist derselbe wie bei √2 — nur „gerade“ wird zu „durch 3 teilbar“. Wer den Widerspruch zu früh nennt, hat noch nichts bewiesen.
A7
Knapp daneben ist auch daneben
AFB II

Die Brüche 7/5, 17/12 und 41/29 sind gute Näherungen für √2. Prüfe, wie knapp sie scheitern.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. (7/5)² als Dezimalzahl
  2. 17² − 2 · 12²
  3. 2 · 29²
  4. 41² − 2 · 29²
Bei allen drei Brüchen ist p² − 2q² gleich 1 oder −1 — nie 0. Genau 0 würde p/q = √2 bedeuten, und das ist unmöglich.
A8
Gleiche Zahl, andere Gestalt
AFB II

Finde die sechs Paare, die dieselbe Zahl darstellen.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
√12 = √(4 · 3) = 2√3 bleibt irrational — alle anderen Paare sind rational, obwohl Wurzeln vorkommen.
A9
Fehlersuche in einem Beweis
AFB II

Ein Mitschüler hat den Beweis aufgeschrieben — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten: „Ich habe es ausprobiert“ statt eines Beweises. Beispiele können eine Allaussage nie beweisen.
A10
Rechnen mit irrationalen Zahlen
AFB III

Was kommt bei der Verknüpfung heraus? Verbinde jede Rechnung mit der passenden Aussage samt Beispiel.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Warum ist 1 + √2 sicher irrational? Wäre 1 + √2 = p/q, dann wäre √2 = p/q − 1 ebenfalls ein Bruch — Widerspruch.