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Warum √2 irrational ist

Kein Bruch, und sei er noch so fein, ergibt quadriert genau 2 — ein Widerspruch zeigt, warum.

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Zahlen, die kein Bruch sind

Rationale Zahlen haben eine abbrechende oder periodische Dezimaldarstellung. Es gibt aber Zahlen, bei denen weder das eine noch das andere passiert.

  • Irrationale Zahl:eine Zahl, die sich nicht als Bruch \(\frac pq\) schreiben lässt.
  • Dezimaldarstellung:unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
  • Beispiele:\(\sqrt2=1{,}41421356\ldots\), \(\sqrt3\), \(\pi=3{,}14159\ldots\), \(0{,}1010010001\ldots\)
  • Wurzeln:\(\sqrt n\) ist für natürliche \(n\) entweder natürlich (\(\sqrt{49}=7\)) oder irrational (\(\sqrt{50}\)).

Wähle eine Zahl (Klick oder Enter) und dann ihr Fach — oder ziehe sie hinein. Die Tasten 1 und 2 legen die gewählte Karte direkt ab.

Rational oder irrational?

Halte fest: Entscheidend ist nicht, wie die Zahl aussieht, sondern ob sie sich als Bruch schreiben lässt. Wurzeln aus Quadratzahlen sind rational, Rundungen wie \(1{,}4142\) auch.

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Beweis: \(\sqrt2\) ist irrational

Ausprobieren von Brüchen kann nie zeigen, dass es keinen passenden gibt. Deshalb nimmt man das Gegenteil an und führt es zu einem Widerspruch — ein indirekter Beweis.

  • Annahme:\(\sqrt2=\frac pq\) mit natürlichen Zahlen \(p,q\), vollständig gekürzt.
  • Gerade Quadrate:Ist \(p^2\) gerade, dann auch \(p\) — denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade.

Herleitung:

\(\sqrt2=\dfrac pq\)
| quadrieren
Die Annahme: \(\sqrt2\) ist ein gekürzter Bruch.
\(2=\dfrac{p^2}{q^2}\)
| · \(q^2\)
Beide Seiten quadriert.
\(p^2=2q^2\)
| \(p=2k\)
\(p^2\) ist das Doppelte einer Zahl, also gerade — damit ist auch \(p\) gerade.
\(4k^2=2q^2\)
| : \(2\)
Für \(p\) wurde \(2k\) eingesetzt.
\(q^2=2k^2\)
Ergebnis
Auch \(q^2\) und damit \(q\) ist gerade. Dann ließe sich \(\frac pq\) durch \(2\) kürzen — Widerspruch zur Annahme.
Merke

Satz: \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) — \(\sqrt2\) ist irrational.

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Allgemeine Hinweise

1,41421356 ist nicht √2

Jede Rechneranzeige bricht ab und ist damit rational. Sie ist nur eine Näherung: \(1{,}41421356^2\neq 2\).

So geht indirekt

Das Gegenteil annehmen, sauber folgern, bis etwas Unmögliches herauskommt. Dann war die Annahme falsch.

Nicht jede Wurzel ist irrational

\(\sqrt{49}=7\) und \(\sqrt{\frac94}=\frac32\) sind rational. Irrational wird es erst ohne Quadratzahl unter der Wurzel.

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