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Warum √2 irrational ist

Warum ein DIN-A4-Blatt nie ganz exakt sein kann — und was Näherungsbrüche damit zu tun haben.

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Das Format DIN A4

AFB I–II

Bei DIN-Papierformaten entsteht durch Halbieren der langen Seite wieder ein Blatt mit demselben Seitenverhältnis. Dafür muss das Verhältnis von langer zu kurzer Seite genau \(\sqrt2\) sein. Ein DIN-A4-Blatt ist 297 mm lang und 210 mm breit.

  1. Berechne das Seitenverhältnis 297 : 210 auf vier Nachkommastellen und vergleiche es mit \(\sqrt2\approx1{,}4142\).
  2. Erkläre, warum kein Blatt mit ganzzahligen Millimetermaßen das Verhältnis \(\sqrt2\) exakt haben kann.
  3. Bestimme das Seitenverhältnis des halbierten Blatts (A5: 210 mm × 148,5 mm) und beschreibe, was dir auffällt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Teile die lange durch die kurze Seite.
Hinweis zu Aufgabe b)
Was wäre das Verhältnis zweier ganzer Zahlen?
Hinweis zu Aufgabe c)
Neue lange Seite ist die alte kurze Seite.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(297:210\approx1{,}4143\). Der Wert liegt nur etwa \(0{,}0001\) über \(\sqrt2\approx1{,}4142\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Sind beide Seiten ganze Millimeterzahlen \(a\) und \(b\), dann ist das Verhältnis der Bruch \(\frac ab\), also rational. \(\sqrt2\) ist aber irrational — es gibt keinen Bruch mit \(\frac ab=\sqrt2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(210:148{,}5\approx1{,}4141\). Jetzt liegt das Verhältnis knapp unter \(\sqrt2\). Durch das Halbieren springt der Fehler auf die andere Seite — ganz genau passt es nie.

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Näherungsbrüche für √2

AFB II–III

Tim hat Brüche \(\frac pq\) gesammelt, die \(\sqrt2\) sehr gut annähern: \(\frac32,\ \frac75,\ \frac{17}{12},\ \frac{41}{29}\). Aus einem Bruch \(\frac pq\) erhält er den nächsten mit \(\frac{p+2q}{p+q}\). Er sagt: „Wenn ich lange genug weitermache, finde ich irgendwann den exakten Bruch für \(\sqrt2\).“

  1. Weise für \(\frac{17}{12}\) nach, dass \(p^2-2q^2=1\) gilt.
  2. Ermittle mit Tims Regel den Bruch nach \(\frac{41}{29}\) und prüfe ihn ebenso.
  3. Begründe, dass \(p^2-2q^2\) für natürliche \(p,q\) niemals 0 sein kann.
  4. Beurteile Tims Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne \(17^2\) und \(2\cdot12^2\) getrennt aus.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(p=41\) und \(q=29\) in \(\frac{p+2q}{p+q}\) ein.
Hinweis zu Aufgabe c)
Was würde \(p^2=2q^2\) für den Bruch \(\frac pq\) bedeuten?
Hinweis zu Aufgabe d)
Unterscheide „beliebig genau“ und „exakt“.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(17^2=289\), \(2\cdot12^2=288\), also \(289-288=1\). Damit ist \(\left(\frac{17}{12}\right)^2=2+\frac1{144}\), knapp über 2.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\frac{41+58}{41+29}=\frac{99}{70}\). \(99^2-2\cdot70^2=9801-9800=1\). \(\frac{99}{70}\approx1{,}414286\) weicht nur etwa \(0{,}00007\) von \(\sqrt2\) ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aus \(p^2-2q^2=0\) folgt \(\left(\frac pq\right)^2=2\), also \(\frac pq=\sqrt2\). Dann wäre \(\sqrt2\) rational — im Widerspruch zum Beweis der Irrationalität.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Tims Brüche kommen \(\sqrt2\) beliebig nahe, weil \(p^2-2q^2=\pm1\) bleibt und \(q\) immer größer wird. Einen exakten Bruch findet er aber nie, denn \(\sqrt2\) ist irrational. Die Aussage ist falsch; richtig wäre „beliebig genau“.