MINT lernen

Intervallhalbierung

Ein Tank, ein Computer und die Frage, wie lange Halbieren dauert.

1

Der würfelförmige Wassertank

AFB I–II

Ein würfelförmiger Wassertank soll genau \(20\,\mathrm{m^3}\) fassen. Für die Kantenlänge \(a\) gilt \(a^3=20\). Weil \(a\) keine glatte Zahl ist, wird sie mit der Intervallhalbierung bestimmt — geprüft wird mit \(m^3\) statt \(m^2\).

  1. Gib ein Startintervall mit ganzzahligen Grenzen an, das \(a\) enthält.
  2. Berechne die ersten drei Halbierungsschritte und gib jeweils das neue Intervall an.
  3. Bestimme durch weitere Schritte die Kantenlänge auf eine Nachkommastelle genau.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Suche zwei aufeinanderfolgende Kubikzahlen um 20.
Hinweis zu Aufgabe b)
Mitte bilden, hoch drei nehmen, mit 20 vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Weiterhalbieren, bis beide Grenzen auf dieselbe Zehntelzahl runden.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(2^3=8<20<27=3^3\), also liegt \(a\) in \([2;\,3]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(m=2{,}5\): \(15{,}625<20\) → \([2{,}5;\,3]\). \(m=2{,}75\): \(\approx20{,}80>20\) → \([2{,}5;\,2{,}75]\). \(m=2{,}625\): \(\approx18{,}09<20\) → \([2{,}625;\,2{,}75]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(m=2{,}6875\): \(\approx19{,}41<20\) → \([2{,}6875;\,2{,}75]\). \(m=2{,}71875\): \(\approx20{,}10>20\) → \([2{,}6875;\,2{,}71875]\). Beide Grenzen runden auf 2,7 — die Kante ist etwa 2,7 m lang (genauer \(\approx2{,}714\) m).

2

Wie lange rechnet der Computer?

AFB II–III

Ein Programm bestimmt \(\sqrt2\) mit der Intervallhalbierung, Startintervall \([1;\,2]\). Die Programmiererin will wissen, wie viele Schritte für eine bestimmte Genauigkeit nötig sind. Ein Kollege meint: „Intervallhalbierung ist veraltet — das Heron-Verfahren ist so viel schneller, dass man sie nie mehr braucht.“

  1. Leite eine Bedingung für die Anzahl \(n\) der Schritte her, nach denen die Breite kleiner als \(10^{-k}\) ist.
  2. Schätze ab, wie viele Schritte für 15 Nachkommastellen nötig sind.
  3. Vergleiche mit dem Heron-Verfahren, das die Zahl der richtigen Stellen ungefähr verdoppelt.
  4. Bewerte die Aussage des Kollegen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wie breit ist das Intervall nach \(n\) Schritten?
Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze \(2^{10}=1024\approx10^3\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie viele Verdopplungen führen von 1 auf 15 Stellen?
Hinweis zu Aufgabe d)
Denke nicht nur an Tempo, sondern auch an Sicherheit und Anwendbarkeit.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nach \(n\) Schritten ist die Breite \(\frac1{2^n}\). Gefordert ist \(\frac1{2^n}<10^{-k}\), also \(2^n>10^k\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(2^{10}\approx10^3\) ergibt \(2^{50}\approx10^{15}\). Genauer: \(2^{49}\approx5{,}6\cdot10^{14}\) reicht nicht, \(2^{50}\approx1{,}13\cdot10^{15}\) schon — etwa 50 Schritte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Heron: etwa 1 → 2 → 4 → 8 → 16 Stellen, also rund 4 bis 5 Schritte. Die Intervallhalbierung braucht etwa zehnmal so viele Schritte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Beim Tempo hat er recht. Die Intervallhalbierung liefert aber in jedem Schritt eine sichere untere und obere Schranke, ist sehr einfach und funktioniert auch bei Gleichungen, für die es keine Heron-Formel gibt (z. B. \(x^3=20\) oder \(x^5+x=3\)). „Nie mehr brauchen“ ist deshalb übertrieben.