Das Verfahren
\(\sqrt a\) liegt zwischen zwei Zahlen, deren Quadrate \(a\) einschließen. Diese Einschachtelung wird Schritt für Schritt enger.
- Start:\(\sqrt2\) liegt in \([1;\,2]\), denn \(1^2=1<2<4=2^2\).
- Mitte:\(m=\frac{u+o}2=\frac{1+2}2=1{,}5\).
- Prüfen:\(m^2=2{,}25>2\) — also liegt \(\sqrt2\) links von \(m\).
- Neues Intervall:\([1;\,1{,}5]\), dann wieder die Mitte nehmen und prüfen.
Tippe zuerst: Liegt \(\sqrt a\) links oder rechts von der Mitte \(m\)? Das Applet prüft mit \(m^2\), behält die richtige Hälfte und vergrößert sie.
| Schritt | u | o | m | m² | Tipp | Breite |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Noch kein Schritt — gib oben deine Vorhersage ab. | ||||||
Halte fest: Ein Vergleich von \(m^2\) mit \(a\) genügt, um die richtige Hälfte zu finden. Jeder Schritt halbiert die Breite — nach zehn Schritten ist sie kleiner als ein Tausendstel.
Wie genau wird es?
Die Intervalle liegen ineinander und werden immer schmaler — sie legen genau eine Zahl fest.
- Halbieren:Startbreite \(1\) → \(\frac12\) → \(\frac14\) → … → nach \(n\) Schritten \(\frac1{2^n}\).
- Beispiel:Nach \(10\) Schritten ist die Breite \(\frac1{1024}<0{,}001\).
- Intervallschachtelung:Jedes Intervall liegt im vorigen, die Breite wird beliebig klein — genau eine Zahl liegt in allen.
- Vorteil:funktioniert immer und ist einfach — auch für andere Gleichungen.
- Nachteil:langsam: pro Schritt kommt nur etwa ein Drittel einer Dezimalstelle dazu.
Breite nach n Schritten: \(b_n=\dfrac{b_0}{2^n}\)
Allgemeine Hinweise
Die Mitte quadrieren
Verglichen wird \(m^2\) mit \(a\) — nicht \(m\) mit \(a\). \(1{,}5<2\) sagt nichts über \(\sqrt2\).
Wann aufhören?
Stimmen \(u\) und \(o\) in den ersten Nachkommastellen überein, sind diese Stellen von \(\sqrt a\) sicher.
√2 wird nie erreicht
Alle Grenzen \(u\) und \(o\) sind Brüche. Sie kommen \(\sqrt2\) beliebig nahe, treffen es aber nie.