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Das Heron-Verfahren

Mitteln, teilen, wiederholen — und nach drei Runden stimmen schon fünf Stellen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Was stimmt am Heron-Verfahren?
AFB I

Markiere alle zutreffenden Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Ab x₁ liegen die Werte immer über √a (x₁² = a + d²). Drei Schritte pro Stelle braucht die Intervallhalbierung — Heron verdoppelt die Stellen. Mit x₀ = 0 müsste man durch 0 teilen.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen — rechne im Kopf nach.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: xₙ₊₁ = ½ · (xₙ + a : xₙ) — die Fläche bleibt a, die Seiten rücken zusammen.
A3
Die Idee hinter Heron
AFB I

Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Das Heron-Verfahren startet mit einem mit dem Flächeninhalt a. Als neue Seite nimmt man den der beiden Seiten. Die andere Seite wird so gewählt, dass der a bleibt. Mit jedem Schritt wird das Rechteck einem ähnlicher, und die Zahl der richtigen Stellen sich ungefähr.

„halbiert“ passt zur Intervallhalbierung: Dort halbiert sich die Breite — bei Heron wachsen die richtigen Stellen viel schneller.
A4
Zu groß, zu klein oder genau?
AFB I

Vergleiche jeden Wert mit der gesuchten Wurzel √a.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1zu groß (über √a)
2zu klein (unter √a)
3genau √a
Jedes x₁ ist mindestens so groß wie √a; der Partner a : x₁ liegt darunter. Genau √a kommt nur heraus, wenn schon x₀ = √a war.
A5
Zwei Schritte für √3
AFB II

Berechne x₂ für a = 3 mit dem Startwert x₀ = 2. Runde auf vier Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
x₁ = (2 + 1,5) : 2 = 1,75. x₂ = (1,75 + 3 : 1,75) : 2 = (1,75 + 1,714286) : 2 ≈ 1,732143 → 1,7321. √3 ≈ 1,732051 — nach zwei Schritten schon drei Stellen richtig.
A6
Ablauf des Verfahrens
AFB II

Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Startwert x₀ > 0 wählen
2Partner a : x₀ berechnen
3Mittelwert x₁ = (x₀ + a : x₀) : 2 bilden
4Prüfen: Stimmen xₙ und a : xₙ in den gewünschten Stellen überein?
5Falls nein: mit dem neuen Wert als Startwert wiederholen
Das Abbruchkriterium steht erst nach dem Mittelwert: Stimmen die beiden Rechteckseiten in den Stellen überein, stimmt auch √a dort.
A7
Heron für √5
AFB II

Bestimme √5 mit dem Startwert x₀ = 2.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. x₁
  2. a : x₁ (vier Nachkommastellen)
  3. x₂ (vier Nachkommastellen)
  4. Wie viele Nachkommastellen von x₂ stimmen mit √5 ≈ 2,236068 überein? Stellen
x₂ ≈ 2,236111 und √5 ≈ 2,236068 stimmen in 2,236 überein. Schon x₃ ≈ 2,2360680 hat acht richtige Stellen.
A8
Ein Schritt im Kopf
AFB II

Finde zu jeder Vorgabe den Wert x₁.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Immer erst den Partner a : x₀ bilden, dann den Mittelwert: a = 50, x₀ = 5 → Partner 10 → (5 + 10) : 2 = 7,5.
A9
Fehlersuche im Heft
AFB II

Rechnung zu √5 mit x₀ = 2 — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
In Arbeiten am häufigsten: die fehlende Klammer. Die ganze Summe x₀ + a : x₀ wird halbiert.
A10
Wie viele Stellen stimmen?
AFB III

Heron für √2 = 1,41421356… Schätze für jeden Wert, wie viele Nachkommastellen schon stimmen — ohne ihn auszurechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine, 2 = 1 bis 2, 3 = 3 bis 4, 4 = 5 bis 6, 5 = 10 oder mehr. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = keine5 = 10 oder mehr
x₁ bei Start x₀ = 2
x₂ bei Start x₀ = 2
x₁ bei Start x₀ = 1,4
x₃ bei Start x₀ = 2
x₄ bei Start x₀ = 2
x₁ = 1,5 (0), x₂ = 1,41666 (2), x₃ = 1,4142157 (5), x₄ = 1,41421356237 (11). Wer mit dem guten Startwert 1,4 beginnt, hat nach einem Schritt 1,4142857 — schon 4 Stellen.