Vom Rechteck zum Quadrat
Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \(a\) hat die Seitenlänge \(\sqrt a\). Das Heron-Verfahren formt ein Rechteck mit derselben Fläche Schritt für Schritt zu diesem Quadrat um.
- Start:Rechteck mit Fläche \(a=2\), z. B. \(x_0=2\) und \(\frac a{x_0}=1\).
- Neue Seite:Mittelwert der beiden Seiten: \(x_1=\frac{2+1}2=1{,}5\).
- Andere Seite:so, dass die Fläche \(2\) bleibt: \(2:1{,}5=1{,}\overline3\).
- Einschachtelung:\(\sqrt a\) liegt immer zwischen den beiden Seiten \(\frac a{x_n}\) und \(x_n\).
Klicke dreimal auf den Knopf unter der Zeichnung: Überstand halbieren, eine Hälfte umlegen, zum Rechteck ergänzen. Danach beginnt der nächste Schritt mit dem neuen Rechteck.
| n | lange Seite xn | kurze Seite a : xn | Unterschied |
|---|
Halte fest: Nach dem Umlegen fehlt nur eine kleine Ecke zum Quadrat. Die neue Seite \(x_1\) ist der Mittelwert der alten Seiten — etwas zu groß, aber viel näher an \(\sqrt a\).
Die Rechenvorschrift
Aus dem Umlegen wird eine Formel, die man immer wieder auf das letzte Ergebnis anwendet.
Heron-Verfahren: \(x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac a{x_n}\right)\)
- a = 2, x₀ = 2:\(x_1=1{,}5\); \(x_2=1{,}41\overline{6}\); \(x_3\approx1{,}4142157\); \(x_4\approx1{,}41421356237\)
- Tempo:Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr mit jedem Schritt — \(x_4\) stimmt schon auf \(11\) Nachkommastellen.
- Startwert:Jeder positive Startwert führt zum Ziel; ein guter Startwert spart Schritte.
Allgemeine Hinweise
Probe mit dem Produkt
Die beiden Seiten \(x_n\) und \(\frac a{x_n}\) ergeben multipliziert immer genau \(a\) — so kontrollierst du jeden Schritt.
Nicht zwischendurch runden
Mit dem gerundeten Wert weiterzurechnen verschenkt Genauigkeit. Mit der Ans-Taste des Rechners rechnest du ungerundet weiter.
Klammer um die Summe
\(x_n+\frac a{x_n}\) wird als Ganzes halbiert. \(x_n+\frac a{x_n}:2\) ohne Klammer ist falsch.