MINT lernen

Das Heron-Verfahren

Was babylonische Schreiber schon wussten — und wie aus einem langen Beet ein Quadrat wird.

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Eine babylonische Tontafel

AFB I–II

Auf einer rund 3800 Jahre alten babylonischen Tontafel (YBC 7289) steht für die Diagonale eines Quadrats mit der Seite 1 ein Wert, der umgerechnet \(1{,}41421296\) ergibt. Man vermutet, dass er mit einem Verfahren wie dem von Heron gewonnen wurde.

  1. Berechne mit dem Heron-Verfahren für \(a=2\) und \(x_0=1{,}5\) die Werte \(x_1\) und \(x_2\) auf acht Nachkommastellen.
  2. Vergleiche den Wert der Tontafel mit \(\sqrt2\approx1{,}41421356\) und mit \(x_2\).
  3. Zeige durch Bruchrechnung, dass \(x_1=\frac{17}{12}\) und \(x_2=\frac{577}{408}\) gilt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(x_1=\frac12\left(1{,}5+\frac2{1{,}5}\right)\). Mit dem ungerundeten Wert weiterrechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bilde jeweils den Abstand zu \(\sqrt2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne mit \(x_0=\frac32\) und \(\frac2{x_0}=\frac43\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x_1=\frac12(1{,}5+1{,}33333333)=1{,}41666667\); \(x_2=\frac12\left(1{,}41666667+\frac2{1{,}41666667}\right)\approx1{,}41421569\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Tontafel: Abstand \(\approx6\cdot10^{-7}\); \(x_2\): Abstand \(\approx2{,}1\cdot10^{-6}\). Beide stimmen in den ersten fünf Nachkommastellen (1,41421) überein, der Fehler der Tafel ist aber rund dreimal kleiner — sie ist genauer als \(x_2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x_1=\frac12\left(\frac32+\frac43\right)=\frac12\cdot\frac{17}6=\frac{17}{12}\). \(x_2=\frac12\left(\frac{17}{12}+\frac{24}{17}\right)=\frac12\cdot\frac{289+288}{204}=\frac{577}{408}\).

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Vom langen Beet zum Quadrat

AFB II–III

Ein Gemüsebeet ist 12 m lang und 3 m breit. Es soll in ein quadratisches Beet mit demselben Flächeninhalt umgebaut werden. Paul bestimmt die Seitenlänge mit dem Heron-Verfahren und startet mit der langen Seite \(x_0=12\). Lea sagt: „Mit so einem schlechten Startwert ist das Verfahren unbrauchbar.“

  1. Ermittle \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) und gib die Seitenlänge des Quadrats an.
  2. Begründe geometrisch, warum jedes \(x_n\) ab \(n=1\) mindestens so groß ist wie \(\sqrt a\).
  3. Untersuche den Einfluss des Startwerts, indem du auch mit \(x_0=1\) und \(x_0=6\) je einen Schritt rechnest.
  4. Nimm Stellung zu Leas Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Fläche ist \(a=36\). Partner jeweils \(36:x_n\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Denke an das Umlegen: Welches Stück fehlt zum Quadrat mit der Seite \(x_1\)?
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze die Startwerte in die Heron-Formel ein.
Hinweis zu Aufgabe d)
Kommt das Verfahren auch von einem schlechten Startwert aus zum Ziel? Wie viele Schritte kostet das?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x_1=\frac12(12+3)=7{,}5\); \(x_2=\frac12(7{,}5+4{,}8)=6{,}15\); \(x_3=\frac12(6{,}15+5{,}8537)\approx6{,}0018\). Die Werte laufen auf \(\sqrt{36}=6\) zu: Das Quadrat hat 6 m Seitenlänge.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Legt man die halbe Überstandsfläche um, entsteht ein Quadrat mit der Seite \(x_1\), dem nur eine Ecke der Fläche \(d^2\) fehlt. Also gilt \(x_1^2=a+d^2\ge a\) und damit \(x_1\ge\sqrt a\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x_0=1\): \(x_1=\frac12(1+36)=18{,}5\) — zuerst ein großer Sprung, danach \(\approx10{,}22\), \(\approx6{,}87\) … \(x_0=6\): \(x_1=6\), der Wert bleibt sofort stehen. Ein schlechter Startwert kostet nur ein paar Schritte mehr.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Lea hat nicht recht: Jeder positive Startwert führt zum Ziel, schon von 12 aus ist nach drei Schritten der Fehler kleiner als 0,002. Ein guter Startwert spart lediglich Schritte — unbrauchbar wird das Verfahren nicht.