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Der Grenzwert

Beliebig nahe kommen und nahe bleiben — mehr verlangt der Grenzwert nicht.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Welche Folgen gehen gegen 0?
AFB I

Markiere alle Folgen mit dem Grenzwert 0.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
(−1)ⁿ : n springt zwar hin und her, der Abstand 1/n zu 0 wird aber beliebig klein. 1 + 1/n und n/(n + 1) laufen gegen 1, (−1)ⁿ hat gar keinen Grenzwert.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zum Grenzwert.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Grenzwert heißt beliebig nahe kommen und nahe bleiben — erreichen muss man ihn nicht.
A3
Grenzwert in Worten
AFB I

Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine Folge heißt , wenn sie einen Grenzwert hat, sonst heißt sie . Der Grenzwert g ist die Zahl, der die Glieder nahe kommen. Ab einer Stelle bleiben alle weiteren Glieder in jedem noch so schmalen um g.

„genau“ bleibt übrig — die Glieder müssen g nicht genau treffen.
A4
Wohin läuft die Folge?
AFB I

Sortiere die Folgen nach ihrem Grenzwert.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Grenzwert 0
2Grenzwert 1
3kein Grenzwert
Aufspalten hilft: (n + 1)/n = 1 + 1/n und (n² + 1)/n² = 1 + 1/n². n/10 wächst zwar langsam, aber über jede Grenze.
A5
Ab wann nah genug?
AFB II

Für aₙ = 2 + 3 : n: Ab welcher Nummer n₀ ist der Abstand zum Grenzwert kleiner als 0,01?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Grenzwert 2, Abstand 3/n. 3/n < 0,01 ⇔ n > 300. Bei n = 300 ist der Abstand genau 0,01 — also erst ab 301.
A6
Das Streifen-Argument
AFB II

Zeige für aₙ = 4 : n und den Abstand d = 0,05, ab wann alle Glieder im Streifen liegen. Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Vermuteten Grenzwert nennen: g = 0
2Abstand aufschreiben: |aₙ − 0| = 4/n
3Bedingung ansetzen: 4/n < 0,05
4Umformen: n > 80
5Ergebnis: Ab n₀ = 81 liegen alle Glieder im Streifen.
Ohne vermuteten Grenzwert gibt es keinen Abstand — deshalb steht g ganz am Anfang. Für jedes kleinere d klappt dieselbe Rechnung, nur n₀ wird größer.
A7
Folge untersuchen
AFB II

Gegeben ist aₙ = (5n − 2) : n.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. a₁₀
  2. Grenzwert g
  3. Kleinstes n₀ für den Abstand 0,1
  4. Kleinstes n₀ für den Abstand 0,001
aₙ = 5 − 2/n. Der Abstand 2/n wird kleiner als jedes d, sobald n > 2/d ist. Zehnmal kleineres d heißt hier zehnmal größeres n₀.
A8
Folge und Grenzwert
AFB II

Verbinde jede Folge mit ihrem Grenzwert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei Brüchen hilft Teilen durch n: (n − 1)/(2n) = 1/2 − 1/(2n) → 1/2. 1 + (−1)ⁿ springt zwischen 0 und 2.
A9
Fehlersuche im Heft
AFB II

Sechs Sätze zum Grenzwert — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten: „immer näher“ mit „beliebig nahe“ verwechseln. Nur beim Grenzwert schrumpft der Abstand unter jede Schranke.
A10
Wie weit hinten liegt n₀?
AFB III

Wie groß ist das kleinste n₀, ab dem alle Glieder näher als 0,01 am Grenzwert liegen? Schätze ohne genaue Rechnung.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = höchstens 10, 2 = 11 bis 100, 3 = 101 bis 1000, 4 = über 1000, 5 = gibt es nicht. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = höchstens 105 = gibt es nicht
aₙ = 0,5ⁿ
aₙ = 1 : n²
aₙ = 1 : n
aₙ = 10 : n
aₙ = (−1)ⁿ, vermutet g = 0
0,5⁷ ≈ 0,008 — Halbieren ist schnell. 1/n² < 0,01 ab n = 11, 1/n ab 101, 10/n ab 1001. Bei (−1)ⁿ ist der Abstand zu 0 immer 1 — kein n₀.