Beliebig nahe kommen
Die Glieder von \(a_n=\frac1n\) werden immer kleiner, erreichen die \(0\) aber nie. Trotzdem kommen sie ihr so nahe, wie man nur will.
- Beobachtung:\(a_{10}=0{,}1\), \(a_{100}=0{,}01\), \(a_{1000}=0{,}001\)
- Abstand:\(|a_n-0|\) wird kleiner als jede vorgegebene positive Zahl — man muss \(n\) nur groß genug wählen.
- Streifen:Um \(g\) wird ein Streifen der halben Breite \(d\) gelegt. Ab einer Stelle \(n_0\) bleiben alle weiteren Glieder darin.
- Beispiel:\(d=0{,}01\): Ab \(n_0=101\) gilt \(\frac1n<0{,}01\).
Stelle mit den Reglern einen Streifen um \(g\) ein und mache ihn schmaler. Bleiben ab einer Stelle \(n_0\) alle weiteren Glieder im Streifen? Probiere auch ein falsches \(g\).
Halte fest: \(g\) ist der Grenzwert, wenn es für jeden noch so kleinen Abstand \(d\) eine Stelle gibt, ab der alle Glieder im Streifen bleiben. Bei einem falschen \(g\) klappt das irgendwann nicht mehr.
Grenzwert und Schreibweise
Die Zahl, der die Glieder beliebig nahe kommen und nahe bleiben, bekommt einen Namen.
- Grenzwert:die eindeutige Zahl \(g\), der sich die Glieder beliebig dicht annähern.
- Konvergent:Die Folge hat einen Grenzwert: \(\frac1n\to0\), Heron \(\to\sqrt2\).
- Divergent:Es gibt keinen Grenzwert: \((-1)^n\) springt zwischen \(-1\) und \(1\), \(2^n\) wächst über alle Grenzen.
- Nullfolge:eine Folge mit dem Grenzwert \(0\).
- Gesprochen:„Limes von \(a_n\) für \(n\) gegen unendlich ist \(g\)“.
Grenzwert: \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=g\)
Allgemeine Hinweise
Immer näher reicht nicht
\(\frac1n\) kommt auch \(-0{,}5\) immer näher — aber nie näher als \(0{,}5\). Nur \(0\) wird beliebig nahe erreicht.
Nicht erreichen ist erlaubt
Ein Grenzwert muss nicht angenommen werden: Kein Glied von \(\frac1n\) ist \(0\), trotzdem ist \(0\) der Grenzwert.
Mit großen n testen
Setze \(n=10,\ 100,\ 1000\) ein. Stabilisieren sich die Stellen, hast du einen Kandidaten für \(g\).