MINT lernen

Der Grenzwert

Ein springender Ball und ein Streit um die richtige Grenze.

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Der springende Ball

AFB I–II

Ein Ball fällt aus 2 m Höhe. Nach jedem Aufprall erreicht er 60 % der vorherigen Höhe. Nach dem \(n\)-ten Aufprall erreicht er also \(h_n=2\cdot0{,}6^n\) (in m).

  1. Gib die Sprunghöhen nach dem ersten, zweiten und dritten Aufprall an.
  2. Interpretiere den Grenzwert der Folge \((h_n)\) im Sachzusammenhang.
  3. Ermittle den ersten Aufprall, nach dem der Ball weniger als 1 cm hoch springt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Jeweils mit 0,6 multiplizieren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wogegen strebt \(0{,}6^n\)?
Hinweis zu Aufgabe c)
1 cm = 0,01 m. Probiere Potenzen von 0,6 oder nutze den Rechner.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h_1=1{,}2\) m, \(h_2=0{,}72\) m, \(h_3=0{,}432\) m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Wegen \(0{,}6^n\to0\) gilt \(\lim h_n=0\): Die Sprünge werden beliebig flach, der Ball kommt zur Ruhe. Im Modell springt er dabei unendlich oft — in Wirklichkeit ist nach wenigen Sprüngen Schluss.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(h_{10}=2\cdot0{,}6^{10}\approx0{,}0121\) m, \(h_{11}=2\cdot0{,}6^{11}\approx0{,}0073\) m. Nach dem 11. Aufprall liegt die Höhe erstmals unter 1 cm.

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Zwei Vermutungen

AFB II–III

Gegeben ist die Folge \(a_n=\frac{4n+3}{2n}\). Nils vermutet den Grenzwert 2. Ada widerspricht: „\(a_{10}=2{,}15\) und die Glieder werden kleiner — der Grenzwert ist 2,1.“

  1. Zeige, dass \(a_n=2+\frac{1{,}5}n\) gilt.
  2. Weise für den Abstand \(d=0{,}01\) nach, dass ab einer Stelle alle Glieder im Streifen um 2 liegen, und gib \(n_0\) an.
  3. Widerlege Adas Vermutung mit einem Streifen um 2,1.
  4. Formuliere allgemein, warum eine Folge nicht zwei verschiedene Grenzwerte haben kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Teile Zähler und Nenner getrennt durch \(2n\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Abstand zu 2 ist \(\frac{1{,}5}n\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Wähle \(d=0{,}05\). Wo liegen die Glieder für große \(n\)?
Hinweis zu Aufgabe d)
Lege um zwei verschiedene Zahlen so schmale Streifen, dass sie sich nicht überlappen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\frac{4n+3}{2n}=\frac{4n}{2n}+\frac3{2n}=2+\frac{1{,}5}n\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\frac{1{,}5}n<0{,}01\Leftrightarrow n>150\). Ab \(n_0=151\) liegen alle Glieder im Streifen \((1{,}99;\,2{,}01)\). Für jedes andere \(d\) funktioniert dieselbe Rechnung mit \(n>\frac{1{,}5}d\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Streifen um 2,1 mit \(d=0{,}05\): \((2{,}05;\,2{,}15)\). Für \(n>30\) ist \(\frac{1{,}5}n<0{,}05\), also \(a_n<2{,}05\) — ab dort liegt kein Glied mehr im Streifen. 2,1 ist daher nicht der Grenzwert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Wären \(g_1\neq g_2\) Grenzwerte, könnte man um beide Streifen legen, die sich nicht berühren (z. B. \(d\) kleiner als der halbe Abstand). Ab einer Stelle müssten alle Glieder in beiden Streifen zugleich liegen — unmöglich. Also ist der Grenzwert eindeutig.