MINT lernen

Grenzverhalten von 1/x

Beliebig nah an die Achse — und trotzdem nie darauf. Das Grenzverhalten der Hyperbel.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Was stimmt über f(x) = 1/x?
AFB I

Markiere alle zutreffenden Aussagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
f(−1000) = −0,001 liegt unter der x-Achse. Die x-Achse wird nie geschnitten, weil 1/x = 0 keine Lösung hat. Nahe bei 0 werden die Werte riesig, nicht klein.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zur Hyperbel.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Für x → ±∞ geht 1/x gegen 0, für x → 0 gibt es keinen Grenzwert.
A3
Das Grenzverhalten in Worten
AFB I

Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Für x → ∞ werden die Funktionswerte von 1/x beliebig . Der Graph nähert sich der an, schneidet sie aber nie. Diese Gerade heißt waagerechte . Für x → 0 von rechts wachsen die Werte über jede ; die ist senkrechte Asymptote.

„Nullstelle“ bleibt übrig — 1/x hat keine, weil der Graph die x-Achse nie erreicht.
A4
Wohin für x → ∞?
AFB I

Sortiere die Funktionen nach ihrem Verhalten für x → ∞.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1strebt gegen 0
2strebt gegen 2
3wächst über alle Grenzen
(2x + 1) : x = 2 + 1/x. Bei x² − 1/x spielt das kleine 1/x keine Rolle, x² wächst unbegrenzt.
A5
Rückwärts gefragt
AFB I

Für welches x > 0 gilt 1/x = 0,0025?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
x = 1 : 0,0025 = 400. Trick: 0,0025 = 1/400.
A6
Die Streifen-Grenze finden
AFB II

Für welche x > 0 gilt 1/x < 0,002? Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Gefordert: 1/x < 0,002 für x > 0
2Mit x multiplizieren (x > 0): 1 < 0,002 · x
3Durch 0,002 teilen: 500 < x
4Also gilt 1/x < 0,002 für alle x > 500.
5Rechts von x = 500 liegt der Graph im Streifen 0 < y < 0,002.
Mit x darf man ohne Umdrehen des Zeichens nur multiplizieren, weil x > 0 ist. Allgemein: 1/x < d für x > 1/d.
A7
Verschobene Hyperbel
AFB II

Gegeben ist g(x) = 1/x + 2.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. g(10)
  2. g(1000)
  3. Waagerechte Asymptote: y = ?
  4. Ab welchem x > 0 ist g(x) < 2,01?
g(x) − 2 = 1/x, also gilt g(x) < 2,01 genau dann, wenn 1/x < 0,01, also x > 100. Die Verschiebung um 2 verschiebt auch die Asymptote.
A8
Funktion und Asymptoten
AFB II

Verbinde jede Funktion mit ihren beiden Asymptoten.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo der Nenner 0 wird. Die waagerechte verschiebt sich mit der Zahl, die addiert wird.
A9
Fehlersuche im Heft
AFB II

Sechs Sätze zu f(x) = 1/x — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten: „Die Asymptote wird irgendwann erreicht.“ Genau das passiert nie.
A10
Wohin laufen die Werte?
AFB III

Entscheide für jede Zeile, wie sich die Funktionswerte verhalten.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = streben gegen 0, 2 = streben gegen 1, 3 = streben gegen 2, 4 = wachsen über alle Grenzen, 5 = fallen unter alle Grenzen. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = streben gegen 05 = fallen unter alle Grenzen
3/x für x → ∞
(x − 1) : x für x → ∞
2 + 1/x² für x → ∞
1/x für x → 0 von rechts
−1/x² für x → 0
(x − 1)/x = 1 − 1/x → 1. −1/x² ist auf beiden Seiten von 0 negativ und fällt nahe 0 unter jede Schranke.