Wenn x sehr groß wird
Die Funktion \(f(x)=\frac1x\) (\(x\neq0\)) hat eine Hyperbel als Graphen. Interessant ist, was an den Rändern passiert.
- Werte:\(f(10)=0{,}1\), \(f(100)=0{,}01\), \(f(1000)=0{,}001\)
- x → ∞:Die Funktionswerte kommen der \(0\) beliebig nahe, erreichen sie aber nie.
- Genau:\(f(x)<d\) gilt für alle \(x>\frac1d\) — z. B. \(\frac1x<0{,}01\) für \(x>100\).
- Asymptote:Die \(x\)-Achse (\(y=0\)) ist waagerechte Asymptote.
- x → −∞:Ebenso gegen \(0\), nur von unten: \(f(-1000)=-0{,}001\).
Markiere alle Punkte des Graphen, die im grünen Streifen liegen — per Klick oder mit den Pfeiltasten und Enter. Prüfe dann und wechsle den Streifen.
Halte fest: Für \(x\to\infty\) liegen ab \(x>\frac1d\) alle Punkte im Streifen um die \(x\)-Achse, egal wie schmal er ist. Für \(x\to0\) übersteigt \(\frac1x\) jede Schranke \(M\), sobald \(x<\frac1M\).
Wenn x gegen 0 geht
In der Nähe von \(x=0\) verhält sich die Funktion ganz anders — hier gibt es keinen Grenzwert.
- Von rechts:\(f(0{,}1)=10\), \(f(0{,}001)=1000\) — die Werte wachsen über jede Grenze.
- Von links:\(f(-0{,}001)=-1000\) — die Werte fallen unter jede Grenze.
- Polstelle:Bei \(x=0\) ist \(f\) nicht definiert; die \(y\)-Achse (\(x=0\)) ist senkrechte Asymptote.
- Schreibweise:\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac1x=0\) — für \(x\to0\) gibt es keinen Grenzwert.
Grenzverhalten: \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac1x=0\) und \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac1x=0\)
Allgemeine Hinweise
Kein Schnittpunkt mit der x-Achse
Die Gleichung \(\frac1x=0\) hat keine Lösung. Der Graph kommt der \(x\)-Achse nur beliebig nahe.
Bei 0 zwei Richtungen
Rechts von \(0\) geht es nach \(+\infty\), links nach \(-\infty\). Einen gemeinsamen Grenzwert gibt es dort nicht.
Übertragen
\(\frac1x+2\) nähert sich für \(x\to\infty\) der \(2\); die Asymptote ist dann \(y=2\).