MINT lernen

Grenzverhalten von 1/x

Fahrzeiten und Stückkosten — zwei Alltagsprobleme mit Hyperbel-Verhalten.

1

Fahrzeit und Geschwindigkeit

AFB I–II

Für eine 100 km lange Strecke braucht man bei der Durchschnittsgeschwindigkeit \(v\) (in km/h) die Zeit \(t(v)=\frac{100}v\) (in h).

  1. Berechne die Fahrzeit für 50 km/h, 100 km/h und 200 km/h.
  2. Beschreibe das Verhalten von \(t(v)\) für \(v\to\infty\) und für \(v\to0\) und deute es.
  3. Ermittle die Geschwindigkeit, ab der die Fahrt kürzer als 6 Minuten dauert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze die Geschwindigkeiten in \(t(v)\) ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Denke an das Verhalten von \(\frac1x\) an beiden Rändern.
Hinweis zu Aufgabe c)
6 min = 0,1 h. Löse \(\frac{100}v<0{,}1\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(t(50)=2\) h, \(t(100)=1\) h, \(t(200)=0{,}5\) h.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für \(v\to\infty\) gilt \(t(v)\to0\): Die Fahrzeit wird beliebig kurz, aber nie 0. Für \(v\to0\) wächst \(t(v)\) über jede Grenze: Wer fast steht, braucht beliebig lange.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\frac{100}v<0{,}1\Leftrightarrow v>1000\). Erst ab 1000 km/h dauert die Fahrt weniger als 6 Minuten — mit dem Auto unmöglich.

2

Stückkosten beim T-Shirt-Druck

AFB II–III

Eine Druckerei verlangt für eine Klassen-T-Shirt-Bestellung einmalig 600 € für die Druckvorlage und 8 € pro T-Shirt. Die Kosten pro Stück sind \(k(x)=8+\frac{600}x\) bei \(x\) T-Shirts. Die Werbung verspricht: „Bei großen Bestellungen nur 8 € pro Shirt!“

  1. Bestimme die Stückkosten für 10, 100 und 1000 T-Shirts.
  2. Untersuche das Verhalten von \(k(x)\) für \(x\to\infty\) und gib die waagerechte Asymptote an.
  3. Löse die Ungleichung \(k(x)<9\) und deute das Ergebnis.
  4. Bewerte den Werbespruch.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Einsetzen in \(k(x)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Wohin strebt \(\frac{600}x\)?
Hinweis zu Aufgabe c)
\(8+\frac{600}x<9\Leftrightarrow\frac{600}x<1\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Wird die Asymptote je erreicht? Wie groß sind realistische Bestellungen einer Klasse?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(k(10)=68\) €, \(k(100)=14\) €, \(k(1000)=8{,}60\) €.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\frac{600}x\to0\), also \(k(x)\to8\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=8\): Die Fixkosten verteilen sich auf immer mehr Shirts.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\frac{600}x<1\Leftrightarrow x>600\). Ab 601 T-Shirts liegen die Stückkosten unter 9 €.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Genau 8 € werden nie erreicht, weil \(\frac{600}x>0\) bleibt; 8 € sind nur der Grenzwert. Für eine Klasse (etwa 30 Shirts) kostet ein Shirt \(8+20=28\) €. Der Spruch ist also irreführend: „nur 8 €“ gilt nicht einmal annähernd für übliche Bestellungen.