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Grenzprozesse vergleichen

Heron, Tee und Medikament — alle laufen auf eine Grenze zu, aber keiner gleich schnell.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Welche Vorgänge haben eine Grenze?
AFB I

Markiere alle Vorgänge, die sich auf Dauer einem festen Wert nähern.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Wachstumsfaktoren größer als 1 (1,03 und 2) lassen die Werte über alle Grenzen wachsen. 0, 1, 0, 1 springt dauerhaft und hat keinen Grenzwert.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zum Vergleich von Grenzprozessen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Alle Grenzprozesse kommen ihrem Grenzwert beliebig nahe — sie unterscheiden sich im Tempo und in der Richtung.
A3
Grenzprozesse im Überblick
AFB I

Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei der Intervallhalbierung sich die Breite pro Schritt. Beim Heron-Verfahren sich die Zahl der richtigen Stellen ungefähr. Beim begrenzten Wachstum nähert sich der Bestand einer , beim exponentiellen Zerfall nähert er sich der . In allen Fällen wird der Grenzwert genau erreicht.

„sofort“ bleibt übrig — kein Grenzprozess springt auf einen Schlag an sein Ziel.
A4
Von welcher Seite?
AFB I

Aus welcher Richtung nähern sich die Werte ihrem Grenzwert?

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1von unten
2von oben
3abwechselnd von beiden Seiten
Das Vorzeichen des „Abstandsterms“ verrät die Seite: 20 − 15 · 0,8ᵗ bleibt unter 20, 20 + 70 · 0,9ᵗ darüber. Ein Faktor (−1)ⁿ oder eine negative Basis lässt das Vorzeichen wechseln.
A5
Wann ist die Limo warm?
AFB II

Eine Limonade kommt mit 5 °C aus dem Kühlschrank: T(t) = 22 − 17 · 0,85ᵗ (t in Minuten, T in °C). Nach wie vielen vollen Minuten ist sie erstmals wärmer als 20 °C?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Gesucht: 17 · 0,85ᵗ < 2. 0,85¹³ ≈ 0,121 ergibt T(13) ≈ 19,9 °C, 0,85¹⁴ ≈ 0,103 ergibt T(14) ≈ 20,3 °C. Die 22 °C Zimmertemperatur erreicht sie nie ganz.
A6
Wettrennen nach Tempo
AFB II

Ordne die Prozesse danach, wie viele Schritte sie brauchen, bis der Abstand zum Grenzwert kleiner als 0,001 ist — den schnellsten zuerst.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Heron für √2 (Start 2)
2Neunen-Folge 0,9; 0,99; …
3Intervallhalbierung (Breite 1)
4Tee: Abstand 70 · 0,9ⁿ
5aₙ = 1/n
3, 4, 10, 106 und 1001 Schritte. Der Tee startet mit 70 °C Abstand — deshalb braucht er trotz Faktor 0,9 über hundert Schritte.
A7
Abbau eines Wirkstoffs
AFB II

Von 400 mg eines Wirkstoffs werden jede Stunde 20 % abgebaut: aₙ = 400 · 0,8ⁿ (in mg, n in Stunden).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. a₁ mg
  2. a₃ mg
  3. Grenzwert der Folge mg
  4. Nach wie vielen vollen Stunden ist erstmals weniger als 1 mg vorhanden? h
a₂₆ ≈ 1,21 mg, a₂₇ ≈ 0,97 mg. Pro Stunde verschwindet ein Fünftel — der Rest wird beliebig klein, aber nie null.
A8
Prozess und Grenzwert
AFB II

Verbinde jeden Prozess mit seinem Grenzwert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die Vielecke im Kreis sind der Grenzprozess hinter π: Je mehr Ecken, desto näher kommt ihr Umfang dem Kreisumfang 2π.
A9
Fehlersuche im Vergleich
AFB II

Sechs Sätze aus einem Referat — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten: „Grenzwert“ mit „Endwert, der erreicht wird“ verwechseln.
A10
Wie viele Schritte?
AFB III

Schätze, wie viele Schritte jeder Prozess braucht, bis der Abstand zum Grenzwert kleiner als 0,001 ist.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = höchstens 5, 2 = 6 bis 20, 3 = 21 bis 100, 4 = 101 bis 1000, 5 = über 1000. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = höchstens 55 = über 1000
Heron für √2, Start 2
Abstand 0,5ⁿ
Abstand 0,8ⁿ
Abstand 70 · 0,9ⁿ
Abstand 1/n
0,5¹⁰ ≈ 0,001, 0,8³¹ ≈ 0,001, 70 · 0,9¹⁰⁶ ≈ 0,001, 1/1001 < 0,001. Je näher der Faktor an 1 liegt, desto langsamer — und 1/n ist noch langsamer als jeder Faktor.