Viele Wege zu einem Grenzwert
Grenzprozesse tauchen nicht nur beim Wurzelziehen auf. Überall, wo sich etwas einem festen Wert immer weiter annähert, steckt ein Grenzwert.
- Intervallhalbierung:Die Breite halbiert sich pro Schritt: \(1;\ \frac12;\ \frac14;\ \ldots\to0\)
- Heron:\(x_n\to\sqrt2\); die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr.
- Abnahme:Medikament im Blut: \(100\,\mathrm{mg}\cdot0{,}5^t\to0\,\mathrm{mg}\).
- Begrenztes Wachstum:Tee kühlt ab: \(T(t)=20+70\cdot0{,}9^t\to20\,°\mathrm C\) — die Raumtemperatur ist die Grenze.
- Kreiszahl:Vielecke im Kreis nähern den Umfang \(\pi\) an (Kapitel Kreis und Körper).
Wähle Prozesse aus und vergleiche sie erst einzeln, dann mit „Überlagern“ in einem gemeinsamen Diagramm. Hochgetragen ist, wie viele Nachkommastellen nach \(n\) Schritten schon stimmen.
Halte fest: Alle Prozesse kommen ihrem Grenzwert beliebig nahe — aber verschieden schnell. Heron verdoppelt die richtigen Stellen, die Intervallhalbierung gewinnt pro Schritt nur ein Drittel Stelle, \(\frac1n\) ist sehr langsam.
Worin sie sich unterscheiden
Beim Vergleich zählen drei Fragen: Von welcher Seite, wie schnell und wird der Grenzwert erreicht?
- Seite:Der Tee nähert sich \(20\,°\mathrm C\) nur von oben; \(1+\frac{(-1)^n}n\) springt um die \(1\) herum.
- Tempo:Für einen Abstand unter \(0{,}001\) braucht \(\frac1n\) über \(1000\) Schritte, die Intervallhalbierung \(10\), Heron \(3\).
- Erreichen:Bei keinem der Prozesse wird der Grenzwert nach endlich vielen Schritten genau erreicht.
- Langzeitverhalten:Der Grenzwert sagt, wohin ein Vorgang auf Dauer läuft — der Tee wird nie kälter als der Raum.
Gemeinsam: \(|a_n-g|\to0\) ⟺ \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=g\)
Allgemeine Hinweise
Schnell heißt: wenige Schritte
Ein Verfahren ist schnell, wenn es für eine gewünschte Genauigkeit wenige Schritte braucht — nicht, wenn die ersten Werte groß springen.
Grenze ist kein Endzustand
Im Modell erreicht der Tee die \(20\,°\mathrm C\) nie. In der Wirklichkeit ist der Unterschied irgendwann nicht mehr messbar.
Nicht jede Folge hat einen
\(2^n\) wächst über alle Grenzen, \((-1)^n\) springt hin und her — beide haben keinen Grenzwert.