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Grenzprozesse vergleichen

Zwei Verfahren im Wettrennen und zwei Getränke auf dem Weg zur Zimmertemperatur.

1

Zwei Wege zu √3

AFB I–II

Mia bestimmt \(\sqrt3\) mit dem Heron-Verfahren (Startwert \(x_0=2\)), Leon mit der Intervallhalbierung (Startintervall \([1;\,2]\)). Beide rechnen drei Schritte. Zum Vergleich: \(\sqrt3\approx1{,}7320508\).

  1. Berechne Mias Werte \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) auf sieben Nachkommastellen.
  2. Ermittle Leons Intervall nach drei Halbierungen.
  3. Vergleiche die Genauigkeit beider Ergebnisse nach drei Schritten.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac3{x_n}\right)\), ungerundet weiterrechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Mitte quadrieren und mit 3 vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie groß ist jeweils der mögliche Fehler?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x_1=1{,}75\); \(x_2\approx1{,}7321429\); \(x_3\approx1{,}7320508\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(m=1{,}5\): \(2{,}25<3\) → \([1{,}5;\,2]\). \(m=1{,}75\): \(3{,}0625>3\) → \([1{,}5;\,1{,}75]\). \(m=1{,}625\): \(\approx2{,}64<3\) → \([1{,}625;\,1{,}75]\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mias \(x_3\) stimmt auf sieben Nachkommastellen (Fehler unter \(10^{-7}\)). Leon weiß nur \(1{,}625<\sqrt3<1{,}75\), der Fehler kann bis 0,125 betragen. Heron ist hier um ein Vielfaches genauer.

2

Tee und Limo im Klassenzimmer

AFB II–III

In einem Raum mit 20 °C steht ein Tee, der sich nach \(T(t)=20+70\cdot0{,}9^t\) abkühlt, und eine Limonade, die sich nach \(L(t)=20-15\cdot0{,}85^t\) erwärmt (\(t\) in Minuten, Temperaturen in °C). Jan sagt: „Nach einer Stunde haben beide Getränke Zimmertemperatur.“

  1. Gib die Anfangstemperaturen und die Grenzwerte beider Getränke an.
  2. Beschreibe, von welcher Seite sich die Getränke der Grenze nähern und welches schneller ist.
  3. Bestimme jeweils die Zeit, nach der das Getränk weniger als 1 °C von der Zimmertemperatur entfernt ist.
  4. Diskutiere Jans Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(t=0\) ein; für den Grenzwert: \(0{,}9^t\to0\), \(0{,}85^t\to0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Vorzeichen vor dem Abstandsterm und Größe des Faktors betrachten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Löse \(70\cdot0{,}9^t<1\) bzw. \(15\cdot0{,}85^t<1\) durch Probieren oder mit dem GTR.
Hinweis zu Aufgabe d)
Unterscheide Modell (Grenzwert) und Messpraxis (Thermometer-Genauigkeit).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Tee: \(T(0)=90\) °C, Grenzwert 20 °C. Limo: \(L(0)=5\) °C, Grenzwert 20 °C.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Tee nähert sich von oben (+70 · …), die Limo von unten (−15 · …). Die Limo startet näher an der Grenze und hat den kleineren Faktor 0,85 — sie ist schneller.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Tee: \(0{,}9^t<\frac1{70}\) ab \(t=41\) min (\(70\cdot0{,}9^{40}\approx1{,}03\)). Limo: \(0{,}85^t<\frac1{15}\) ab \(t=17\) min (\(15\cdot0{,}85^{17}\approx0{,}95\)).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Im Modell erreicht keines der Getränke je genau 20 °C, der Abstand wird nur beliebig klein. Nach 60 min ist der Tee noch etwa 20,1 °C, die Limo etwa 19,999 °C warm. Mit einem normalen Thermometer ist das nicht von 20 °C zu unterscheiden — praktisch stimmt Jans Aussage, mathematisch nicht.