Folgen und ihre Glieder: Übungen – Mathe Klasse 10

A1

Glieder von aₙ = (n − 1) : n

AFB I

Welche Aussagen über die Folge aₙ = (n − 1) : n stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

a₂ = 1/2, nicht 2 — die Nummer ist nicht der Wert. a₁₀ = 9/10. Die Glieder 0; 0,5; 0,67; 0,75 … werden größer und bleiben unter 1.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen zu Folgen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Merke: explizit = direkt aus n, rekursiv = aus dem Vorgänger mit Startwert.

A3

Fachbegriffe zu Folgen

AFB I

Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine Folge ist eine Liste von Zahlen. Das n-te Glied heißt . Bei der Darstellung berechnet man aₙ direkt aus n, bei der aus dem Vorgänger. Dafür braucht man zusätzlich einen .

„Grenzwert“ bleibt übrig — er gehört zum nächsten Unterkapitel: die Zahl, der sich die Glieder annähern.

A4

Explizit oder rekursiv?

AFB I

Sortiere die Darstellungen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1explizit

2rekursiv

Das Erkennungszeichen: Steht rechts nur n, ist es explizit. Steht rechts ein Glied der Folge (aₙ, xₙ), ist es rekursiv — dann gehört ein Startwert dazu.

A5

Rekursiv weiterrechnen

AFB II

Es gilt a₁ = 1 und aₙ₊₁ = 3 · aₙ − 1. Berechne a₆.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

1 → 2 → 5 → 14 → 41 → 122. Rekursiv muss man jedes Glied einzeln ausrechnen — ein Rechenfehler pflanzt sich fort.

A6

Glieder der Größe nach

AFB II

Für aₙ = (−1)ⁿ · 6 : n: Ordne die Glieder von klein nach groß — rechne sie vorher im Kopf aus.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1a₁

2a₃

3a₅

4a₆

5a₄

6a₂

a₁ = −6, a₃ = −2, a₅ = −1,2, a₆ = 1, a₄ = 1,5, a₂ = 3. Die ungeraden Glieder sind negativ und steigen, die geraden positiv und fallen — beide laufen auf 0 zu.

A7

Sparplan

AFB II

Auf einem Konto liegen im ersten Jahr 1000 €. Jedes Jahr kommen 2 % Zinsen und anschließend 100 € Einzahlung dazu: a₁ = 1000, aₙ₊₁ = 1,02 · aₙ + 100.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

a₂ €
a₃ €
a₄ (auf Cent gerundet) €
In welchem Jahr n liegt das Kapital zum ersten Mal über 1500 €?

a₅ ≈ 1494,59 € liegt knapp unter 1500 €, a₆ ≈ 1624,48 € darüber. Für solche Fragen ist die rekursive Darstellung natürlich: Jedes Jahr baut auf dem Vorjahr auf.

A8

Anfang und Formel

AFB II

Verbinde die ersten Glieder mit der passenden expliziten Formel.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Trick: Setze n = 1 und n = 2 ein. 2n + 1 liefert 3 und 5, 2ⁿ liefert 2 und 4 — schon zwei Glieder unterscheiden die meisten Formeln.

A9

Fehlersuche im Heft

AFB II

Sechs Notizen zu Folgen — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Am häufigsten: Nummer und Wert verwechseln. aₙ ist der Wert an der Stelle n.

A10

Wie verlaufen die Glieder?

AFB III

Entscheide, wie sich die Glieder verhalten — ohne eine Wertetabelle.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = fallen immer, 2 = steigen immer, 3 = wechseln das Vorzeichen, 4 = bleiben konstant, 5 = fallen erst, steigen dann. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = fallen immer5 = fallen erst, steigen dann

aₙ = 5 : n

aₙ = 3 − 2 · 0,5ⁿ

aₙ = (−0,5)ⁿ

a₁ = 2, aₙ₊₁ = ½ · (aₙ + 4 : aₙ)

aₙ = (n − 3)²

Die Heron-Folge für √4 mit dem Start 2 bleibt stehen, weil 2 schon die Wurzel ist. (n − 3)² ergibt 4, 1, 0, 1, 4 — das Minimum liegt bei n = 3.

Folgen und ihre Glieder

Übungsaufgaben