Was ist eine Folge?
Die Näherungswerte aus dem Heron-Verfahren stehen in einer festen Reihenfolge: erster, zweiter, dritter Wert … So eine Liste heißt Folge.
- Folge:nummerierte Liste von Zahlen \(a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots\)
- Glied:\(a_n\) heißt \(n\)-tes Glied; \(n\) ist die Nummer, \(a_n\) der Wert.
- Beispiele:\(1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots\) oder \(2;\ 1{,}5;\ 1{,}41\overline6;\ \ldots\) (Heron)
- Graph:Punkte \((n\,|\,a_n)\), nicht verbunden.
Ziehe den Punkt am Graphen entlang (oder Pfeiltasten ← →). Er springt von Glied zu Glied; die Hilfslinien zeigen \(n\) und \(a_n\).
Halte fest: Der Graph einer Folge besteht aus einzelnen Punkten \((n\,|\,a_n)\) — nur für \(n=1,2,3,\ldots\). Zwischen den Punkten gibt es nichts.
Explizit oder rekursiv
Eine Folge lässt sich auf zwei Arten beschreiben.
- Explizit:\(a_n\) direkt aus \(n\) berechnen: \(a_n=\frac1n\), also \(a_{10}=\frac1{10}=0{,}1\).
- Rekursiv:jedes Glied aus seinem Vorgänger: \(a_1=2,\ a_{n+1}=2\cdot a_n\) ergibt \(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots\)
- Heron:rekursiv: \(x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac2{x_n}\right)\) mit \(x_1=2\).
- Vergleich:Explizit bekommt man \(a_{100}\) sofort; rekursiv braucht man alle \(99\) Vorgänger.
- Beides:\(a_n=3-2\cdot0{,}5^n\) lässt sich auch rekursiv schreiben: \(a_1=2,\ a_{n+1}=\frac12a_n+1{,}5\).
Zwei Darstellungen: explizit \(a_n=f(n)\) · rekursiv \(a_{n+1}=g(a_n)\) mit Startwert \(a_1\)
Allgemeine Hinweise
Nummer ist nicht Wert
\(a_3\) ist das dritte Glied. Bei \(a_n=\frac1n\) ist \(a_3=\frac13\) — nicht \(3\).
Rekursiv braucht einen Start
Ohne \(a_1\) ist \(a_{n+1}=2\cdot a_n\) nicht festgelegt: Mit \(a_1=3\) entsteht \(3,6,12,\ldots\), mit \(a_1=1\) eine andere Folge.
Punkte nicht verbinden
Es gibt kein Glied \(a_{2{,}5}\). Eine durchgezogene Linie würde Werte vortäuschen, die es nicht gibt.