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Folgen und ihre Glieder

Theaterreihen und gefaltetes Papier — Folgen, die ganz unterschiedlich wachsen.

1

Sitzreihen im Theater

AFB I–II

In einem Theater hat die erste Reihe 20 Plätze. Jede weitere Reihe hat 2 Plätze mehr als die Reihe davor. Die Anzahl der Plätze in Reihe \(n\) wird mit \(a_n\) bezeichnet.

  1. Stelle eine rekursive und eine explizite Darstellung der Folge auf.
  2. Berechne die Anzahl der Plätze in Reihe 25.
  3. Ermittle die erste Reihe, die mindestens 50 Plätze hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Rekursiv: Wie entsteht \(a_{n+1}\) aus \(a_n\)? Explizit: Wie oft kommen bis Reihe \(n\) zwei Plätze dazu?
Hinweis zu Aufgabe b)
Die explizite Formel spart 24 Rechenschritte.
Hinweis zu Aufgabe c)
Löse \(2n+18\ge50\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Rekursiv: \(a_1=20\), \(a_{n+1}=a_n+2\). Explizit: \(a_n=20+2(n-1)=2n+18\). Probe: \(a_1=20\), \(a_2=22\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(a_{25}=2\cdot25+18=68\). Reihe 25 hat 68 Plätze.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(2n+18\ge50\Leftrightarrow n\ge16\). Reihe 16 hat genau 50 Plätze, Reihe 15 nur 48.

2

Papier falten bis zum Mond?

AFB II–III

Ein Blatt Papier ist 0,1 mm dick. Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke. Im Internet liest man: „Könnte man ein Blatt 42-mal falten, reichte es bis zum Mond.“ Der Mond ist etwa 384 400 km von der Erde entfernt.

  1. Stelle die Dicke \(d_n\) nach \(n\) Faltungen rekursiv und explizit dar.
  2. Bestimme die Dicke nach 10 Faltungen.
  3. Untersuche die Behauptung aus dem Internet.
  4. Beurteile, ob sich für diese Frage die rekursive oder die explizite Darstellung besser eignet.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Startwert ist die Dicke ohne Faltung: \(d_0=0{,}1\) mm.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze \(2^{10}=1024\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne \(d_{42}\) in km um: 1 km = 1 000 000 mm.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie viele Rechenschritte braucht jede Darstellung für \(d_{42}\)?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Rekursiv: \(d_0=0{,}1\), \(d_{n+1}=2\cdot d_n\). Explizit: \(d_n=0{,}1\cdot2^n\) (in mm).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(d_{10}=0{,}1\cdot1024=102{,}4\) mm — schon über 10 cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(d_{42}=0{,}1\cdot2^{42}\) mm \(\approx4{,}4\cdot10^{11}\) mm \(\approx439\,800\) km. Das ist mehr als die Mondentfernung — rechnerisch stimmt die Behauptung (\(d_{41}\approx219\,900\) km reicht noch nicht).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Explizit genügt eine Rechnung: \(0{,}1\cdot2^{42}\). Rekursiv müsste man 42-mal verdoppeln. Die rekursive Form beschreibt dafür anschaulich, was bei jedem Falten passiert. Für große \(n\) ist die explizite Darstellung klar im Vorteil.