Zwei Kompressionsprogramme im Test
AFB I–IIZwei Programme X und Y komprimieren dieselben drei Dateien verlustfrei.
| Datei | Original | mit X | mit Y |
|---|---|---|---|
| Text | 800 KB | 320 KB | 280 KB |
| Grafik | 2 MB | 400 KB | 600 KB |
| Archiv (schon gezippt) | 5 MB | 5,1 MB | 5 MB |
- Berechnen Sie für jede Datei und jedes Programm das Kompressionsverhältnis \(k\).
- Vergleichen Sie die beiden Programme.
- Bestimmen Sie die Gesamteinsparung von X für alle drei Dateien zusammen in Prozent.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Text: X 40 %, Y 35 %. Grafik: X 20 %, Y 30 %. Archiv: X 102 %, Y 100 %.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Y ist beim Text besser, X bei der Grafik. Beim Archiv spart keines; X vergrößert es sogar um 2 %. Keines ist durchweg überlegen — das Ergebnis hängt von den Daten ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Original: 800 + 2000 + 5000 = 7800 KB. X: 320 + 400 + 5100 = 5820 KB. \(k=\tfrac{5820}{7800}\approx74{,}6\,\%\), Einsparung etwa 25,4 %.
Ein Werbeversprechen
AFB II–IIIEin Hersteller wirbt: „Unser Programm komprimiert jede Datei verlustfrei auf höchstens die Hälfte — im Schnitt sogar auf 50 %!“ Als Beleg nennt er zwei Testdateien: 100 KB → 10 KB und 10 MB → 9 MB.
- Erklären Sie, was ein Kompressionsverhältnis von 50 % bedeutet.
- Widerlegen Sie die Behauptung, jede Datei lasse sich verlustfrei auf die Hälfte verkleinern.
- Überprüfen Sie die Angabe „im Schnitt 50 %“ anhand der beiden Testdateien.
- Nehmen Sie Stellung zur Werbeaussage insgesamt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die komprimierte Datei ist halb so groß wie das Original: \(k=\tfrac{S_{\text{komprimiert}}}{S_{\text{original}}}=0{,}5\); die Einsparung beträgt ebenfalls 50 %.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Es gibt \(2^{n}\) Dateien mit \(n\) Bit, aber nur \(2^{0}+\dots+2^{n/2}=2^{n/2+1}-1\) Bitfolgen mit höchstens \(n/2\) Bit. Für \(n\ge4\) sind das weniger. Verlustfrei heißt umkehrbar, also muss jede Datei ein eigenes Ergebnis haben — Widerspruch (Schubfachprinzip).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Einzelwerte: 10 % und 90 %, Mittelwert 50 %. Gesamt: \(\tfrac{10+9000}{100+10\,000}\approx89{,}2\,\%\). Die große Datei spart kaum etwas; der Mittelwert der Prozentsätze täuscht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der erste Teil ist mathematisch unmöglich. Der „Schnitt von 50 %“ ist irreführend gewählt, da er kleine und große Dateien gleich gewichtet. Eine seriöse Angabe nennt das Gesamtverhältnis für typische Testdaten und räumt ein, dass manche Dateien nicht kleiner werden.