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Abituraufgaben: Daten binär codieren

Zwei Abituraufgaben zu Codewortlängen, Speicherbedarf und Farbpaletten — mit Hinweisen und Erwartungshorizont.

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Die Zuganzeige am Bahnsteig

AFB I–II

Eine Zugzielanzeige soll 26 Großbuchstaben, die Ziffern 0 bis 9, das Leerzeichen sowie Punkt, Doppelpunkt und Bindestrich darstellen — insgesamt 40 Zeichen. Jedes Zeichen erhält ein Codewort fester Länge. Eine Anzeigeseite hat drei Zeilen mit je 24 Zeichen.

  1. Geben Sie die kleinste mögliche Codewortlänge an.
  2. Berechnen Sie, wie viele Zeichen man ergänzen könnte, ohne die Codewortlänge zu ändern.
  3. Vergleichen Sie den Speicherbedarf einer Anzeigeseite mit dem 6-Bit-Code und mit ASCII in einem Byte je Zeichen.
  4. Erläutern Sie, warum trotzdem häufig ein Byte je Zeichen verwendet wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(2^{n}\ge40\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie viele Codewörter gibt es mit dieser Länge insgesamt?
Hinweis zu Aufgabe c)
Zeichen je Seite zuerst bestimmen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Denken Sie an Speicheradressen und Erweiterbarkeit.Erläutern: Einen Sachverhalt so darstellen, dass Zusammenhänge und Bedingungen verständlich werden – mit Beispielen oder Belegen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(2^{5}=32<40\le64=2^{6}\), also 6 Bit je Zeichen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(64-40=24\) Zeichen, z. B. Kleinbuchstaben wären damit noch nicht vollständig möglich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(3\cdot24=72\) Zeichen. 6-Bit-Code: \(72\cdot6=432\) Bit \(=54\) Byte. ASCII (1 Byte): 72 Byte. Der 6-Bit-Code spart 18 Byte, also 25 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Speicher und Schnittstellen arbeiten byteweise; ein Zeichen pro Byte lässt sich direkt adressieren. ASCII/UTF-8 ist standardisiert, andere Geräte verstehen die Daten ohne eigene Tabelle. Außerdem bleibt Platz für Erweiterungen (Kleinbuchstaben, Umlaute).

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Ein Icon mit Farbpalette

AFB II–III

Ein App-Icon hat 32 × 32 Pixel. Es kann mit 24 Bit Farbtiefe gespeichert werden oder mit einer Farbpalette: Eine Tabelle enthält die verwendeten Farben (je 3 Byte), und jedes Pixel speichert nur die Nummer seiner Farbe in dieser Tabelle — mit so wenigen Bits wie möglich.

  1. Bestimmen Sie den Speicherbedarf mit 24 Bit Farbtiefe in Byte.
  2. Ermitteln Sie den Speicherbedarf, wenn das Icon 16 verschiedene Farben verwendet.
  3. Untersuchen Sie, ab welcher Anzahl von Farben die Palette mehr Speicher braucht als die 24-Bit-Speicherung.
  4. Beurteilen Sie den Vorschlag, auch Urlaubsfotos grundsätzlich mit einer Palette aus 256 Farben zu speichern.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(S=\text{Breite}\cdot\text{Höhe}\cdot\text{Farbtiefe}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Farbnummern 0 bis 15 — wie viele Bit? Dazu kommt die Tabelle.
Hinweis zu Aufgabe c)
Bei \(n\) Farben: \(\lceil\log_2 n\rceil\) Bit je Pixel plus \(3n\) Byte Tabelle. Probieren Sie 256, 512 und 1024 Farben.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie viele Farben hat ein Foto typischerweise? Was geschieht mit den übrigen?Beurteilen: Zu einem Sachverhalt ein selbstständiges Urteil unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden formulieren und begründen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(32\cdot32\cdot24=24\,576\) Bit \(=3072\) Byte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

16 Farben → 4 Bit je Pixel: \(1024\cdot4=4096\) Bit \(=512\) Byte. Palette: \(16\cdot3=48\) Byte. Zusammen 560 Byte, also etwa 18 % von 3072 Byte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

256 Farben: 1024 + 768 = 1792 Byte. 512 Farben (9 Bit): 1152 + 1536 = 2688 Byte. Ab 513 Farben braucht man 10 Bit: \(1280+3n>3072\Leftrightarrow n>597{,}3\). Ab 598 Farben ist die Palette größer. (Mehr als 1024 verschiedene Farben kann das Icon ohnehin nicht haben.)

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Fotos enthalten meist zehntausende Farbtöne. Bei 256 Farben müssen ähnliche Töne zusammengelegt werden — Farbverläufe werden stufig. Die Einsparung (etwa ein Drittel des Speichers) erkauft man mit sichtbarem Qualitätsverlust; das Verfahren wird verlustbehaftet. Für Icons und Grafiken mit wenigen Farben ist die Palette sinnvoll, für Fotos nicht.