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Textaufgaben: Das Binärsystem

Ein Bitmuster an einer LED-Leiste lesen und setzen und herausfinden, warum ein Besucherzähler mit nur einem Byte falsch zählt.

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Die Lauflicht-Leiste

AFB I–II

Die Technik-AG baut eine Lauflicht-Leiste für die Schulbühne. Ein Mikrocontroller steuert acht LEDs über ein einziges Byte: Jede leuchtende LED steht für eine 1, jede dunkle für eine 0. Die linke LED gehört zum höchstwertigen Bit.

Momentaufnahme der Leiste
höchstwertiges Bitniedrigstwertiges Bit
Orange = LED leuchtet, hell = LED aus.
  1. Lesen Sie das Bitmuster aus der Abbildung ab und geben Sie seinen Wert im Dezimalsystem an.
  2. Bestimmen Sie mit dem Divisionsverfahren das Bitmuster für die Zahl 99, die der Controller als Nächstes senden soll, und geben Sie an, welche LEDs dann leuchten.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Notiere für jede LED von links nach rechts 1 oder 0 und schreibe die Stellenwerte 128, 64, …, 1 darüber.
Hinweis zu Aufgabe b)
Teile fortlaufend durch 2 und notiere die Reste. Von unten nach oben lesen, dann auf 8 Bit mit führenden Nullen auffüllen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bitmuster: 1001 1100.

Wert: 128 + 16 + 8 + 4 = 156.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

99 : 2 = 49 Rest 1; 49 : 2 = 24 Rest 1; 24 : 2 = 12 Rest 0; 12 : 2 = 6 Rest 0; 6 : 2 = 3 Rest 0; 3 : 2 = 1 Rest 1; 1 : 2 = 0 Rest 1.

Reste von unten nach oben: 110 0011, auf ein Byte ergänzt: 0110 0011. Probe: 64 + 32 + 2 + 1 = 99.

Es leuchten die 2., 3., 7. und 8. LED von links.

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Der Besucherzähler im Museum

AFB II–III

An der Eingangsschranke des Stadtmuseums zählt ein alter Sensor jede Person, die hineingeht. Der Zählerstand wird in einem einzigen Byte gespeichert, beginnt morgens bei 0 und wird abends von der Aufsicht notiert. Zum Vergleich steht im Kassenbuch, wie viele Eintrittskarten tatsächlich verkauft wurden; jede Person hat genau eine Karte.

Für die Sonderausstellung im Sommer rechnet das Museum an Spitzentagen mit bis zu 5000 Besucherinnen und Besuchern.

Notizen der ersten Woche
Tag Anzeige Zähler Kassenbuch Mo187187Di56312Mi44556
Die Anzeige des Zählers stimmt nicht an jedem Tag mit dem Kassenbuch überein.
  1. Erklären Sie, warum der Zähler am Dienstag 56 anzeigt, obwohl 312 Personen im Museum waren.
  2. Ermitteln Sie, wie viele Bit ein Zähler mindestens haben muss, damit er an einem Spitzentag nicht überläuft, und wie viele volle Byte man dafür braucht.
  3. Beurteilen Sie den Vorschlag der Aufsicht: „Wenn die Anzeige abends auffällig klein ist, rechne ich einfach 256 dazu.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Was ist der größte Wert, den ein Byte speichern kann – und was passiert beim nächsten Besucher?
Hinweis zu Aufgabe b)
Suche die kleinste Zweierpotenz, die größer als 5000 ist. Mit n Bit reicht der Zähler von 0 bis 2ⁿ − 1.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe den Vorschlag an allen drei Tagen der Tabelle. Kann man an der Anzeige erkennen, wie oft der Zähler übergelaufen ist?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ein Byte reicht nur bis 255 = 1111 1111. Beim 256. Besucher müsste ein Übertrag in eine neunte Stelle wandern, die es nicht gibt – der Zähler springt auf 0 zurück (Überlauf).

Danach zählt er von vorne: 312 − 256 = 56. Binär: 312 = 1 0011 1000; das neunte Bit mit dem Stellenwert 256 geht verloren, übrig bleibt 0011 1000 = 56.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

12 Bit reichen bis 2¹² − 1 = 4095 – zu wenig. 13 Bit reichen bis 2¹³ − 1 = 8191 ≥ 5000.

Mindestens 13 Bit; da nur ganze Byte gespeichert werden, sind das 2 Byte (16 Bit, Zähler bis 65 535).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Vorschlag stimmt nur, wenn der Zähler genau einmal übergelaufen ist (Dienstag: 56 + 256 = 312).

Am Mittwoch ist er zweimal übergelaufen: 556 = 2 · 256 + 44. Die Regel liefert 44 + 256 = 300 – falsch. Die Anzeige zeigt nur den Rest nach dem Abziehen aller vollen 256er; 44 könnte 44, 300, 556 oder 812 Besucher bedeuten. Auch „auffällig klein“ ist kein sicheres Kriterium.

Urteil: Der Vorschlag ist unzuverlässig. Vollständig ist die Antwort mit Gegenbeispiel aus der Tabelle und einer besseren Lösung, z. B. einem 2-Byte-Zähler oder einem zweiten Zähler für die Überläufe.